Cumpliendo lo prometido, aquí tienen ustedes, como regalo de Reyes, mi particular solución al acertijo que les planteé en mi anterior post, el apasionante asunto de Matías, sus artesanías y sus amigos maniáticos, que tanto interés ha suscitado en algunos selectos círculos blogueros y en algunos domicilios particulares del barrio de Argüelles. Se la expongo bajo la forma de nueve consideraciones, numeradas con números romanos para darles un aspecto más serio.
I Para que se den todas las combinaciones y no se repita ninguna, Matías ha tenido que construir tantas piezas como el número de opciones de cada atributo (2: hueca o maciza, blanca o negra, cúbica o esférica...) elevado al número de atributos considerados (6: estructura, color, forma, tamaño, material y precio), es decir, 64 piezas. (26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64).
II Sabiendo que esto es así, para averiguar cuántas piezas comparten determinados atributos nos basta con dividir el total de piezas por dos tantas veces como atributos compartan las piezas buscadas. Así, por ejemplo, sabemos que hay 32 cubos, 16 cubos macizos, 8 cubos macizos blancos, 4 cubos macizos blancos pequeños, 2 cubos macizos blancos pequeños baratos y solo 1 cubo macizo blanco pequeño barato y metálico.
III Establecida esta regla es fácil, por ejemplo, calcular que César, que odia los metales y huye de las maderas caras, elegiría si le dejaran todas las piezas de madera barata; y que estas son 16 (64/4).
IV Benito, que solo excluye de su elección las cosas que son a la vez pequeñas y huecas, si nadie se lo impidiera se llevaría las 32 piezas grandes y las 16 pequeñas y macizas, es decir, 48 objetos. Entre los que estarían 12 de los 16 que desearía César (solo 12, porque de las 16 piezas que César desea hay 4, las que además de ser baratas y de madera son pequeñas y huecas, que por ello no están entre las que quiere Benito. 16-4=12).
V Pero es Antonio quien elige en primer lugar. Como odia lo negro, lo hueco y lo esférico que no sea de madera, elige solo los cubos blancos y macizos, que son 8, y las esferas de madera blancas y macizas, que son 4. Es decir, se lleva en total 12 objetos y deja a Matías con solo 52. De las piezas que se lleva, todas pertenecen a las 48 que hubiera querido Benito –las grandes por serlo y las pequeñas por ser a la vez macizas– y solo 4 –los 2 cubos blancos macizos de madera barata y las 2 esferas blancas macizas de madera barata– a las 16 que elegiría César.
VI Cuando le llega el turno a Benito solo quedan 36 de las piezas que desea (48 que eran, menos las 12 que se ha llevado Antonio), entre las cuales 8 son de las que César hubiera querido para sí (12 que eran antes de elegir Antonio, menos 4 que este se ha llevado). Y ya hemos dado con esto respuesta a la 1ª pregunta.
De las 8 ninguna es cara, claro, puesto que sabemos que César solo desea piezas de madera barata; y esta es la respuesta a la 2ª pregunta. Benito se lleva sus 36 objetos y a Matías le quedan 16.
De las 8 ninguna es cara, claro, puesto que sabemos que César solo desea piezas de madera barata; y esta es la respuesta a la 2ª pregunta. Benito se lleva sus 36 objetos y a Matías le quedan 16.
VII Y le llega por fin a César la hora de elegir. De los 16 objetos que hubiera querido, Antonio se llevó 4 y Benito 8; él retira, por tanto, los 4 que aún quedan y deja a Matías con 12 piezas, lo que responde a la 3ª pregunta.
VIII Si entendiéramos que Benito, por coleccionar cubos, no puede escoger más que cubos, estaríamos aplicando el principio de que solo se escogen los objetos que se coleccionan, en virtud del cual ni Antonio ni César podrían elegir ningún objeto, puesto que no coleccionan ninguno; y nos habríamos quedado sin problema. Y viceversa: para que el problema tenga sentido debemos entender que Antonio y César sí eligen objetos a pesar de no ser coleccionistas de ninguno, con lo que sentamos el principio de que se pueden escoger objetos aunque no se coleccionen. Por lo cual Benito, además de cubos, puede elegir otras piezas, es decir, su coleccionismo no afecta para nada a su elección y es, por tanto, un dato irrelevante. Con lo que tenemos la respuesta a la 4ª pregunta.
(Lo que está claro que no se puede hacer es entender una cosa para Benito y la contraria para Antonio y César, aplicar para uno un principio y para los otros el opuesto. Eso iría contra todas las reglas conocidas de planteamiento y resolución de problemas lógicos).
IX El cubo de madera, grande, negro, macizo y barato no fue una de las piezas que se llevó Antonio, ya que era negro. En cambio no incurría en ninguna de las restricciones de Benito, de modo que fue este quien se lo llevó a casa y en su momento se lo legó a su nieto, el nº 1, del que, por tanto, sabemos que se llama Benito, como su abuelo. El cubo caro, grande, macizo, metálico y blanco era una de las piezas que se llevó Antonio, puesto que no era ni esférico, ni negro, ni hueco. De manera que quien ahora lo posee tiene que ser el nieto de Antonio, el número 2, que se llama Antonio, como su antepasado.
La solución del autor
Mi hermano y autor del problema asegura que todas estas consideraciones mías son demasiado largas y aburridas de leer, y que las soluciones verdaderamente elegantes son las gráficas, como esta suya:
O como esta otra, no menos vistosa y también de su cosecha:
Ambas, advertirán ustedes, sirven para dar respuesta a todas las preguntas menos la cuarta. Y ello porque la respuesta a la cuarta pregunta sería muy difícilmente explicable mediante un gráfico, como sucede con cualquier cuestión medianamente compleja.
La verdad es que aunque sus soluciones gráficas me parecen, efectivamente, tan inteligentes como elegantes, yo no estoy de acuerdo con la opinión de mi hermano. Sé que es muy común afirmar eso de que "una imagen vale más que mil palabras", pero a mí esta popular sentencia siempre me ha parecido un buen lema para analfabetos, pensado como consuelo de quienes se ven en aprietos para manejar o entender más de diez palabras juntas. En mi opinión, si un razonamiento no puede ser clara y eficazmente expuesto con palabras es porque existe algún problema, bien en el razonamiento, bien en el razonador; y pretender que sea una imagen quien venga a resolverlo es pedir de las imágenes lo que ni pueden ni deben dar, y abdicar gravemente de una de las facultades, el lenguaje articulado, que caracterizan y definen lo humano. Las imágenes, pienso, sirven en ocasiones para ilustrar o apoyar a las palabras, pero jamás para sustituirlas.
Además mi farragoso modo de encontrar y razonar la solución funciona exactamente igual con estas sesenta y cuatro piezas que con las cuatro mil noventa y seis que habría tenido que construir Matías si en vez de seis atributos hubiera considerado doce, por ejemplo; y mi explicación para este caso requeriría muy pocas más palabras que la que he dado líneas arriba al que realmente nos ocupa. Mientras que con las soluciones gráficas que propone el autor no sucede lo mismo: traten ustedes de imaginar cualquiera de ellas aplicadas al mismo problema, pero con doce posibles atributos y, por tanto, con más de cuatro mil piezas. O con dieciséis atributos y sesenta y cinco mil quinientas y pico piezas...
Las soluciones de los lectores.
- La primera en responder fue Alas de Algodón, que me envió su solución el día 23 de Diciembre. Pero solo acertó las respuestas a la cuarta y quinta preguntas. Las tres primeras diferían ampliamente de las mías, que de momento son las que considero correctas. Que acertara la cuarta me regocijó especialmente, porque es pregunta de mi cosecha, surgida de una diferencia de criterio con el autor del problema en cuanto al modo correcto de entender el enunciado. Que Alas coincidiera con mi enfoque del asunto me resultó francamente reconfortante.
Informada de que no había dado con las respuestas correctas, Alas prometió dedicarse en cuerpo y alma a encontrarlas, posponiendo incluso la confección de la cena de Nochebuena, si llegara a parecerle necesario para conseguirlo. Ignoro qué se ceno en su casa la noche del 24, pero en el momento de escribir estas líneas, con los Reyes Magos atravesando ya Madrid, aún no he recibido una nueva solución de su mano.
- Casi inmediatamente después de la de Alas me llegó la respuesta de Miroslav. Cuatro de sus respuestas eran correctas... desde su punto de vista. Le faltaba, precisamente, la respuesta a la cuarta pregunta. No le parecía que ninguno de los datos suministrados en el enunciado fuera irrelevante. Es decir, consideraba, erróneamente, a mi entender, que el hecho de que Benito sea coleccionista de cubos le llevaría a elegir solo cubos. Al afectar, según él, el coleccionismo de Benito a su elección, la primera y la tercera de sus respuestas diferían de las mías, que no tienen en cuenta ese dato.
Una vez supo cuál era mi criterio sobre la irrelevancia del coleccionismo de cubos, reacomodó su respuesta al nuevo enfoque, y acertó, claro. (Suele pasarle a quienes me hacen caso). Pero, lamento decirlo, mantuvo algunas inexplicables diferencias teóricas con mi modo de ver el asunto, que dieron lugar a una amena correspondencia entre ambos. Como discutir es una de las muchas aficiones que Miroslav y yo compartimos, lo pasamos los dos muy bien.
- Ya el mismo día 5 me ha llegado la respuesta de Ozanu. Como Miroslav, también él entiende que el coleccionismo de Benito es un dato relevante, que afecta a su elección haciendo que elija solo cubos. Y llega, por ello, a las mismas respuestas que Miroslav para las preguntas 1ª (Benito se llevó 4 piezas que habría querido César), 2ª (ninguna de ellas era cara), 3ª (a Matías le quedaron 28 piezas) y 5ª (los dos nietos herederos son Benito y Antonio).
En cuanto a la 4º pregunta, considera que el dato irrelevante es el de que Antonio no pueda ver las esferas. Yo no estoy de acuerdo: si suprimiéramos ese dato, Antonio cogería al menos 4 piezas más, las esferas metálicas blancas y macizas (que, desde el criterio de Ozanu y Miroslav, tampoco son de las que cogerán luego ni Benito ni César) y cambiaría por tanto la respuesta a la 3ª pregunta, porque a Matías le quedarían 4 piezas menos que con ese dato.
- Y justo después de la de Ozanu me ha llegado la de C.C. Dos de sus respuestas, las de la 2ª y 5ª preguntas, coinciden con las que considero correctas. Las de las preguntas 1ª y 3ª, en cambio, no coinciden ni con las mías ni con las de quienes consideran relevante el coleccionismo de Benito.
Como puede verse, nadie ha acertado las cinco preguntas, pero todos los que han contestado han acertado alguna. En la 2ª y la 5ª hemos coincidido todos.
Muchas gracias a todos por participar, y enhorabuena a los acertantes. En cuanto al año que empieza, les remito a la coda:
Coda: felicitación de Año Nuevo con acertijo musical
En mis investigaciones por los archivos de algunos castillos bávaros encontré hace años, manuscrita al dorso de lo que parecía ser una lista de la compra, la partitura, firmada por el autor, de esta breve "Weihnachts und Nujahrsbegrüßung in C-Dur für Piccoloflöte, Cello und Cembalo", o "Salutación de Navidad y Año Nuevo en Do mayor para flautino, cello y clave", del ignoto compositor augsburgués Franz X. Großeiche. Siendo la primera obra de este autor de la que se tiene noticia, la catalogué como JCG0001. Aquí está interpretada por el especialista en flauta piccolo E. Finale, el famoso cellista F. Note y el notable clavecinista N. Pad.
Me llamó la atención su para mí evidente parentesco armónico y melódico con una conocida canción navideña contemporánea, que me hizo preguntarme si no estaremos ante uno de esos temas musicales recurrentes, que asoman bajo diversas formas aquí y allá a lo largo de los últimos quinientos años de la historia de la música occidental. Quizás, si alguno de mis lectores advierte la semejanza que creí yo detectar –particularmente señalada en la parte del cello–, sea tan amable de decirme a qué popular villancico le recuerda, y me ayude así a despejar mis dudas. En cualquier caso aquí queda, como mi felicitación de Año Nuevo para todos ustedes.
IX El cubo de madera, grande, negro, macizo y barato no fue una de las piezas que se llevó Antonio, ya que era negro. En cambio no incurría en ninguna de las restricciones de Benito, de modo que fue este quien se lo llevó a casa y en su momento se lo legó a su nieto, el nº 1, del que, por tanto, sabemos que se llama Benito, como su abuelo. El cubo caro, grande, macizo, metálico y blanco era una de las piezas que se llevó Antonio, puesto que no era ni esférico, ni negro, ni hueco. De manera que quien ahora lo posee tiene que ser el nieto de Antonio, el número 2, que se llama Antonio, como su antepasado.
Mi hermano y autor del problema asegura que todas estas consideraciones mías son demasiado largas y aburridas de leer, y que las soluciones verdaderamente elegantes son las gráficas, como esta suya:
O como esta otra, no menos vistosa y también de su cosecha:
Ambas, advertirán ustedes, sirven para dar respuesta a todas las preguntas menos la cuarta. Y ello porque la respuesta a la cuarta pregunta sería muy difícilmente explicable mediante un gráfico, como sucede con cualquier cuestión medianamente compleja.
La verdad es que aunque sus soluciones gráficas me parecen, efectivamente, tan inteligentes como elegantes, yo no estoy de acuerdo con la opinión de mi hermano. Sé que es muy común afirmar eso de que "una imagen vale más que mil palabras", pero a mí esta popular sentencia siempre me ha parecido un buen lema para analfabetos, pensado como consuelo de quienes se ven en aprietos para manejar o entender más de diez palabras juntas. En mi opinión, si un razonamiento no puede ser clara y eficazmente expuesto con palabras es porque existe algún problema, bien en el razonamiento, bien en el razonador; y pretender que sea una imagen quien venga a resolverlo es pedir de las imágenes lo que ni pueden ni deben dar, y abdicar gravemente de una de las facultades, el lenguaje articulado, que caracterizan y definen lo humano. Las imágenes, pienso, sirven en ocasiones para ilustrar o apoyar a las palabras, pero jamás para sustituirlas.
Además mi farragoso modo de encontrar y razonar la solución funciona exactamente igual con estas sesenta y cuatro piezas que con las cuatro mil noventa y seis que habría tenido que construir Matías si en vez de seis atributos hubiera considerado doce, por ejemplo; y mi explicación para este caso requeriría muy pocas más palabras que la que he dado líneas arriba al que realmente nos ocupa. Mientras que con las soluciones gráficas que propone el autor no sucede lo mismo: traten ustedes de imaginar cualquiera de ellas aplicadas al mismo problema, pero con doce posibles atributos y, por tanto, con más de cuatro mil piezas. O con dieciséis atributos y sesenta y cinco mil quinientas y pico piezas...
Las soluciones de los lectores.
- La primera en responder fue Alas de Algodón, que me envió su solución el día 23 de Diciembre. Pero solo acertó las respuestas a la cuarta y quinta preguntas. Las tres primeras diferían ampliamente de las mías, que de momento son las que considero correctas. Que acertara la cuarta me regocijó especialmente, porque es pregunta de mi cosecha, surgida de una diferencia de criterio con el autor del problema en cuanto al modo correcto de entender el enunciado. Que Alas coincidiera con mi enfoque del asunto me resultó francamente reconfortante.
Informada de que no había dado con las respuestas correctas, Alas prometió dedicarse en cuerpo y alma a encontrarlas, posponiendo incluso la confección de la cena de Nochebuena, si llegara a parecerle necesario para conseguirlo. Ignoro qué se ceno en su casa la noche del 24, pero en el momento de escribir estas líneas, con los Reyes Magos atravesando ya Madrid, aún no he recibido una nueva solución de su mano.
- Casi inmediatamente después de la de Alas me llegó la respuesta de Miroslav. Cuatro de sus respuestas eran correctas... desde su punto de vista. Le faltaba, precisamente, la respuesta a la cuarta pregunta. No le parecía que ninguno de los datos suministrados en el enunciado fuera irrelevante. Es decir, consideraba, erróneamente, a mi entender, que el hecho de que Benito sea coleccionista de cubos le llevaría a elegir solo cubos. Al afectar, según él, el coleccionismo de Benito a su elección, la primera y la tercera de sus respuestas diferían de las mías, que no tienen en cuenta ese dato.
Una vez supo cuál era mi criterio sobre la irrelevancia del coleccionismo de cubos, reacomodó su respuesta al nuevo enfoque, y acertó, claro. (Suele pasarle a quienes me hacen caso). Pero, lamento decirlo, mantuvo algunas inexplicables diferencias teóricas con mi modo de ver el asunto, que dieron lugar a una amena correspondencia entre ambos. Como discutir es una de las muchas aficiones que Miroslav y yo compartimos, lo pasamos los dos muy bien.
- Ya el mismo día 5 me ha llegado la respuesta de Ozanu. Como Miroslav, también él entiende que el coleccionismo de Benito es un dato relevante, que afecta a su elección haciendo que elija solo cubos. Y llega, por ello, a las mismas respuestas que Miroslav para las preguntas 1ª (Benito se llevó 4 piezas que habría querido César), 2ª (ninguna de ellas era cara), 3ª (a Matías le quedaron 28 piezas) y 5ª (los dos nietos herederos son Benito y Antonio).
En cuanto a la 4º pregunta, considera que el dato irrelevante es el de que Antonio no pueda ver las esferas. Yo no estoy de acuerdo: si suprimiéramos ese dato, Antonio cogería al menos 4 piezas más, las esferas metálicas blancas y macizas (que, desde el criterio de Ozanu y Miroslav, tampoco son de las que cogerán luego ni Benito ni César) y cambiaría por tanto la respuesta a la 3ª pregunta, porque a Matías le quedarían 4 piezas menos que con ese dato.
- Y justo después de la de Ozanu me ha llegado la de C.C. Dos de sus respuestas, las de la 2ª y 5ª preguntas, coinciden con las que considero correctas. Las de las preguntas 1ª y 3ª, en cambio, no coinciden ni con las mías ni con las de quienes consideran relevante el coleccionismo de Benito.
Como puede verse, nadie ha acertado las cinco preguntas, pero todos los que han contestado han acertado alguna. En la 2ª y la 5ª hemos coincidido todos.
Muchas gracias a todos por participar, y enhorabuena a los acertantes. En cuanto al año que empieza, les remito a la coda:
Coda: felicitación de Año Nuevo con acertijo musical
En mis investigaciones por los archivos de algunos castillos bávaros encontré hace años, manuscrita al dorso de lo que parecía ser una lista de la compra, la partitura, firmada por el autor, de esta breve "Weihnachts und Nujahrsbegrüßung in C-Dur für Piccoloflöte, Cello und Cembalo", o "Salutación de Navidad y Año Nuevo en Do mayor para flautino, cello y clave", del ignoto compositor augsburgués Franz X. Großeiche. Siendo la primera obra de este autor de la que se tiene noticia, la catalogué como JCG0001. Aquí está interpretada por el especialista en flauta piccolo E. Finale, el famoso cellista F. Note y el notable clavecinista N. Pad.
Me llamó la atención su para mí evidente parentesco armónico y melódico con una conocida canción navideña contemporánea, que me hizo preguntarme si no estaremos ante uno de esos temas musicales recurrentes, que asoman bajo diversas formas aquí y allá a lo largo de los últimos quinientos años de la historia de la música occidental. Quizás, si alguno de mis lectores advierte la semejanza que creí yo detectar –particularmente señalada en la parte del cello–, sea tan amable de decirme a qué popular villancico le recuerda, y me ayude así a despejar mis dudas. En cualquier caso aquí queda, como mi felicitación de Año Nuevo para todos ustedes.
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