Lorenzo y las mariposas

Scott Joplin - Pine Apple Rag - Joshua Rifkin, piano

Hace algún tiempo alguien me hizo llegar este enlace:

http://www.exploratorium.edu/complexity/java/lorenz.html

Como verán ustedes si lo siguen y tienen Java instalado en el ordenador –si no, se instala en un par de minutos– es una especie de… entretenimiento gráfico, la verdad es que de contemplación bastante adictiva, llamado “Lorenz Butterfly”, Mariposa de Lorenz. (Tiene un copyright de James P. Crutchfield, que autoriza a descargarlo y usarlo solamente para propósitos informativos, educativos y otros no comerciales, siempre citando la fuente. Me apresuro a hacerlo).

Tras unas breves instrucciones de cómo debe usarse, la página en cuestión explica que la Mariposa de Lorenz es significativa porque ilustra el concepto de “dependencia sensitiva de las condiciones iniciales” (“sensitive dependence upon initial conditions”). Debajo de esta declaración escueta y un tanto hermética hay una pantalla en blanco. Si se pulsa en cualquier lugar de la pantalla, se inicia allí el recorrido de un punto móvil que dibuja una trayectoria en torno a un centro del que se va alejando en una especie de espiral elíptica hasta que es “capturado” por otra órbita y la espiral que dibuja comienza entonces a rondar otro centro, simétrico del primero respecto del eje central de la pantallita. El punto corre interminablemente, trazando en torno a uno u otro de los dos “atractores” elegantes trayectorias aproximadamente elípticas, que tienden a coincidir en la dirección de una común asíntota central y se “amontonan” a sus lados, cruzándose y “empujándose” hacia arriba. En fin, lo explico muy mal. Para que se hagan una idea, cuando aún no ha transcurrido mucho tiempo desde el clic inicial y el dibujo no se ha complicado todavía en exceso, su aspecto puede ser algo así:Lo interesante de la cuestión es que, si se vuelve a hacer clic una segunda vez sobre el mismo lugar de la pantalla, se inicia una nueva trayectoria, que el programa tiene la amabilidad de dibujarnos en otro color distinto del de la primera. Lo cual no se advierte de entrada porque, claro está, como esta segunda trayectoria empieza en el mismo punto que la primera y obedece a la misma ecuación, se superpone exactamente a ella y los colores se mezclan sobre una única línea.

Aunque resulta que no está tan claro. Resulta que, si esperamos un rato, la línea ya no es tan única ni la superposición tan exacta. Sorprendentemente, lo que al principio parecía una sola línea, que se limitaba a cambiar de color conforme el segundo punto móvil la recorría siguiendo de cerca los pasos del primero, se va convirtiendo de modo cada vez más perceptible, a medida que pasa el tiempo, en dos recorridos distintos. El segundo clic ha comenzado una trayectoria que al principio es igual que la primera, pero que enseguida se empieza a separar de ella.

En el siguiente dibujo se ve el momento –cosa de medio minuto y de diez o doce vueltas después de los dos clics iniciales– en que la línea verde claro y la verde oscuro, comenzadas ambas con medio segundo de diferencia en el punto que marca la X roja y coincidentes en las primeras vueltas, se han independizado una de otra hasta el punto de estar tirando cada una para una mitad diferente de la órbita simétrico-esquizofrénica que ambas comparten:
No importa cuántas veces repitamos el experimento, ni cuánto nos esforcemos en mantener inmóvil la mano para que el punto de arranque de las dos líneas sea exactamente el mismo: siempre, al cabo de unas cuantas vueltas, las trayectorias de los dos puntos se habrán separado por completo.

Es esta circunstancia la que hace interesante la ecuación –de la que lamento no poder dar más detalles matemáticos– y por la que se nos dice que ilustra el concepto de “sensitive dependence”: por nimias que sean las diferencias entre los dos puntos de arranque, por mucho que nos esforcemos en hacer que sean prácticamente el mismo, la función representada por la curva es “sensitivamente dependiente” de esta mínima diferencia inicial, y la acusa a medida que desarrolla su recorrido, hasta convertir en enorme una distancia imperceptible al comienzo.

Al cabo de un rato, los dos puntos han formado un dibujo más o menos parecido a este:
Que, como ven, puede recordar a una mariposa, lo que ha motivado que la ecuación, y la curva que la representa, reciba este nombre: Mariposa de Lorenz.

(La verdad es que a mí más me recuerda a una almeja; pero comprendo que "la almeja de Lorenz" no habría sonado igual de bien. Aunque ¿y "el molusco de Lorenz"? ¿"El mejillón de Lorenz" quizás? ¿"La chirla de Lorenz"? ¿"El bivalvo de Lorenz"..? ¿O es que hay algún motivo por el cual el dibujo tenga que recordarnos precisamente a una mariposa, y no a ningún otro bicho?)

Porque seguro que a estas alturas ya tiene que estarles sonando a ustedes algo. A mí al menos, en cuanto pensé dos minutos seguidos en el dibujillo y sus implicaciones, empezaron a resonarme cosas en la memoria: Lorenz… fenómenos inicialmente imperceptibles que acaban teniendo consecuencias de grandes dimensiones… Mariposas…

Lorenz, Edward Norton Lorenz, era, recordarán ustedes –yo lo “recordé” en cuanto hube metido “Lorenz” en Google– aquel matemático y meteorólogo americano que, al elaborar no sé qué modelos matemáticos que trataban de prever, o reproducir, determinados fenómenos meteorológicos, advirtió que una mínima variación en los datos iniciales –como la que puede suponer considerar seis decimales en vez de tres– producía enormes variaciones en el resultado final. De esta observación extrajo importantes conclusiones sobre la Teoría del Caos y sobre predicibilidad y, para hacerlas más patentes al común de los entendimientos, las ilustró con aquel aforismo de que el aleteo de una mariposa en Brasil podía acabar provocando un ciclón en Texas. De hecho esta cuestión del aleteo y el ciclón dio título a una conferencia que pronunció en 1972 ante la Sociedad Americana para el Avance de la Ciencia – “Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?”– y que se hizo tan famosa que desde entonces todos hablamos del efecto mariposa como si desayunáramos con él cada lunes y cada jueves. Pero el efecto a que alude el tan traído y llevado insecto, aunque se haya empleado con muchos otros propósitos, es siempre el mismo: el que se produce en algunos fenómenos para los que el hecho de variar mínimamente los datos de partida no produce en los resultados una variación igualmente mínima, sino que la diferencia va aumentando a medida que atraviesa las sucesivas fases del proceso y acaba convirtiéndose en enorme.

Exactamente lo que hemos visto que pasa en el dibujito de la pantalla, en el que una variación imperceptible en la posición de salida se convierte en una diferencia muy significativa no bien avanza el proceso. Dibujito que también se debe a Lorenz –sí, es el mismo Lorenz– y en el que, si se fijan ustedes, mis queridos Watsons, también interviene, si bien por muy distintos caminos, una mariposa.

Y aquí es donde empiezan a planteárseme a mí mis particulares cuestiones laterales improcedentes, esas que son las que preferentemente llaman mi atención en los problemas serios, motivo por el cual, con toda probabilidad, nunca llegaré a nada; por ejemplo:

¿Por qué dos ilustraciones completamente diferentes de un principio general han acabado, por dos motivos totalmente distintos, resumiéndose en las mariposas? ¿Cuál fue primero: la ocurrencia de ejemplificar con el aleteo de una mariposa la mínima variación climática que acaba produciendo ciclones, o la de escoger como fenómeno de prueba el movimiento de una partícula que dibuja algo parecido a una mariposa?

Fuera cual fuere la primera ¿se eligió la otra deliberadamente para redundar en las mariposas de modo consciente y voluntario, o fue pura casualidad que las dos acabaran hablando de mariposas sin que nadie se lo hubiera propuesto? ¿Tenía Lorenz, quizás, una obsesión de algún género con los lepidópteros?

Y, sobre todo: ¿por qué cuando busco en Internet “mariposa” y “Lorenz”, unos me hablan de la que aletea en Brasil y del “efecto mariposa”, ignorando por entero las ecuaciones que ilustran el mismo principio y que dibujan algo parecido a una mariposa; y otros en cambio me hablan de la “Mariposa de Lorenz” y explican la función y su correspondiente curva mariposil, pero no nombran en absoluto el “efecto mariposa”, ni los aleteos, ni los ciclones? ¿Por qué ambas mariposas se ignoran la una a la otra tan absoluta y resueltamente, pese a trabajar en el mismo ramo y para el mismo jefe?

¿Soy el único que se ha dado cuenta de que los dos ejemplos se refieren al mismo principio, los dos se deben a Lorenz y en los dos hay mariposas? ¿Hay una conjura universal para ignorar algo que a mí me saltó a la vista tras diez minutos de navegar por Google?

¿Me estaré volviendo paranoico?