Isabel y Ángel Parra - Teneme en tu corazón
Con las noticias que el pequeño de los Benavides -a quien de momento bien podemos llamar Benjamín- da a su hermano sobre sus disposiciones mortuorias tenemos datos suficientes para calcular con bastante aproximación la altura que tendrá el Sol sobre el horizonte en el momento en que las lleve a la práctica, es decir el ángulo A que formarán con el plano horizontal los que para él serán últimos rayos solares.
Por poquita trigonometría que sepamos o podamos consultar, sabemos que A es el ángulo cuya Tangente vale h/s.
Donde, en este caso, s es la distancia a la que Benjamín colocó la lápida, 4 metros; y h la suma de las alturas de las tres plantas de la casa y la del propio Benjamín. Esta última no la conocemos pero podemos estimarla de modo bastante aproximado. Suponiéndole a Benjamín una altura entre 1' 5 y 2 m, y a cada una de las tres plantas de su casa una altura entre 2 y 3 m, tenemos que h ha de valer entre 7'5 y 11 metros.
Esto nos permite afirmar que Tg A vale entre 1'875 y 2'75, y, en consecuencia, previa consulta de la más cercana tabla trigonométrica o calculadora científica de que dispongamos, que el propio ángulo A con que la luz solar incidirá en el suelo en tan trascendental momento estará entre los 62º (61º 55’ 39’’, para ser exactos) y los 70º (70º 1’ 0,82’’, si hemos de ser precisos).
Aunque en realidad no es el ángulo A el que nos interesa, sino su complementario B, ángulo que forman los rayos del sol con la vertical y que podemos calcular sin más que restar A de 90º. O sea, que cuando Benjamín Benavides ponga fin a su vida, la luz con que el Sol alumbre su pirueta formará con la vertical un ángulo B no superior a 28º ni inferior a 20º.
Y este ángulo B no nos interesa porque sí, sino porque, mediante un sencillo razonamiento geométrico, podemos, conociendo su valor en un punto dado S (de Suicidio) del Globo y en un momento determinado, establecer la latitud de ese punto, (ángulo L) siempre que conozcamos, además, el ángulo D que los rayos solares forman con el Plano Ecuatorial en ese mismo momento. Como se ve en el dibujo, el ángulo L, la latitud del punto S del Suicidio, es igual a la suma de los ángulos D y B.
De todas las ciudades en que residen los hermanos Benavides, solo Guayaquil, situada a 2º 16’ Sur, se encuentra entre esos dos paralelos y puede ser escenario de un suicidio como el que proyecta Benjamín. Todas las demás caen fuera de esa estrecha franja tropical a que nos han conducido nuestros cálculos, más al norte que 4º 34' N o más al sur que 3º 26' S. Por lo que podemos asegurar que el suicida in pectore vive en Guayaquil y no se llama así en realidad, sino ISAAC. (Y que -ya lo advertía él- no es tan jovial como nos decían en el enunciado. O tiene una extraña idea de la jovialidad.)
Conociendo la latitud exacta de Guayaquil (-2º 16') es fácil hallar el ángulo B que el sol forma allí con la vertical el día y a la hora de autos: B = (-2º 16') + (23º 26') = 21º 10'. Su complementario A, el que forma el sol con la horizontal, será 90º - 21º 10', es decir 68º 50'. La tangente trigonométrica de este último vale 2'5826. Y, por tanto, la altura de Isaac sumada a la de su casa valdrá lo que el producto de esta tangente por los 4 metros de distancia que hay de la fachada a la lápida, es decir, diez metros treinta y tres centímetros, cantidad que podemos distribuir como más nos guste: por ejemplo, un metro setenta y cinco para el finado y dos metros ochenta y seis para cada planta.
(Todos estos números no nos hacen ninguna falta para dar respuesta al problema pero, pudiendo determinarlos, sería una pena no hacerlo ¿no?)
Y, ahora sí, vamos con la respuesta:
El hermano primogénito, de quien se nos asegura que es el más cercano geográficamente a Isaac, debe ser, pues, el residente en Tegucigalpa, es decir, JOSUÉ; y tal era, por tanto, el nombre del difunto patriarca Benavides.
(Como corolario curiosísimo pero perfectamente lógico podemos añadir que si Isaac hubiera colocado la lápida un poco más lejos, veinte metros más allá, se habría encontrado de repente viviendo en Toronto o en Chicago. Lo que demuestra una vez más que los países del norte son más ricos y sus habitantes pueden permitirse la posesión de jardines mucho más grandes.)
Donde, en este caso, s es la distancia a la que Benjamín colocó la lápida, 4 metros; y h la suma de las alturas de las tres plantas de la casa y la del propio Benjamín. Esta última no la conocemos pero podemos estimarla de modo bastante aproximado. Suponiéndole a Benjamín una altura entre 1' 5 y 2 m, y a cada una de las tres plantas de su casa una altura entre 2 y 3 m, tenemos que h ha de valer entre 7'5 y 11 metros.Esto nos permite afirmar que Tg A vale entre 1'875 y 2'75, y, en consecuencia, previa consulta de la más cercana tabla trigonométrica o calculadora científica de que dispongamos, que el propio ángulo A con que la luz solar incidirá en el suelo en tan trascendental momento estará entre los 62º (61º 55’ 39’’, para ser exactos) y los 70º (70º 1’ 0,82’’, si hemos de ser precisos).
Aunque en realidad no es el ángulo A el que nos interesa, sino su complementario B, ángulo que forman los rayos del sol con la vertical y que podemos calcular sin más que restar A de 90º. O sea, que cuando Benjamín Benavides ponga fin a su vida, la luz con que el Sol alumbre su pirueta formará con la vertical un ángulo B no superior a 28º ni inferior a 20º.
Y este ángulo B no nos interesa porque sí, sino porque, mediante un sencillo razonamiento geométrico, podemos, conociendo su valor en un punto dado S (de Suicidio) del Globo y en un momento determinado, establecer la latitud de ese punto, (ángulo L) siempre que conozcamos, además, el ángulo D que los rayos solares forman con el Plano Ecuatorial en ese mismo momento. Como se ve en el dibujo, el ángulo L, la latitud del punto S del Suicidio, es igual a la suma de los ángulos D y B.- Para determinar el ángulo D que formarán la luz solar y el plano del Ecuador cuando Benjamín dé su salto nos basta fijarnos en la fecha de su carta, 21 de Diciembre, víspera no solo de su baja padronal definitiva sino también del Solsticio de Invierno (en el hemisferio Norte; de Verano en el hemisferio Sur): como este día se caracteriza por que a las doce del mediodía el sol cae vertical sobre el Trópico de Capricornio, es decir, los rayos solares forman con el plano del Ecuador un ángulo igual al de la latitud de dicho paralelo, es fácil averiguar que en el día de autos, a la meridiana hora en que maquina Benjamín irse al otro barrio, el ángulo D valdrá exactamente - 23º 26’, que es la latitud del Trópico de Capricornio. (El signo negativo significa que el trópico en cuestión está al Sur del Ecuador. Que el ángulo va "hacia abajo", para entendernos, y no "hacia arriba", como aparece en el dibujo. Pero el razonamiento sigue siendo el mismo.)
- Y en cuanto al ángulo B que la luz solar formará con la vertical en el punto y momento exactos en que nuestro héroe tiene proyectado librar al mundo de su presencia lo estimamos hace un ratito con bastante aproximación entre 20º y 28º.
De todas las ciudades en que residen los hermanos Benavides, solo Guayaquil, situada a 2º 16’ Sur, se encuentra entre esos dos paralelos y puede ser escenario de un suicidio como el que proyecta Benjamín. Todas las demás caen fuera de esa estrecha franja tropical a que nos han conducido nuestros cálculos, más al norte que 4º 34' N o más al sur que 3º 26' S. Por lo que podemos asegurar que el suicida in pectore vive en Guayaquil y no se llama así en realidad, sino ISAAC. (Y que -ya lo advertía él- no es tan jovial como nos decían en el enunciado. O tiene una extraña idea de la jovialidad.)
Conociendo la latitud exacta de Guayaquil (-2º 16') es fácil hallar el ángulo B que el sol forma allí con la vertical el día y a la hora de autos: B = (-2º 16') + (23º 26') = 21º 10'. Su complementario A, el que forma el sol con la horizontal, será 90º - 21º 10', es decir 68º 50'. La tangente trigonométrica de este último vale 2'5826. Y, por tanto, la altura de Isaac sumada a la de su casa valdrá lo que el producto de esta tangente por los 4 metros de distancia que hay de la fachada a la lápida, es decir, diez metros treinta y tres centímetros, cantidad que podemos distribuir como más nos guste: por ejemplo, un metro setenta y cinco para el finado y dos metros ochenta y seis para cada planta.
(Todos estos números no nos hacen ninguna falta para dar respuesta al problema pero, pudiendo determinarlos, sería una pena no hacerlo ¿no?)
Y, ahora sí, vamos con la respuesta:
El hermano primogénito, de quien se nos asegura que es el más cercano geográficamente a Isaac, debe ser, pues, el residente en Tegucigalpa, es decir, JOSUÉ; y tal era, por tanto, el nombre del difunto patriarca Benavides.
(Como corolario curiosísimo pero perfectamente lógico podemos añadir que si Isaac hubiera colocado la lápida un poco más lejos, veinte metros más allá, se habría encontrado de repente viviendo en Toronto o en Chicago. Lo que demuestra una vez más que los países del norte son más ricos y sus habitantes pueden permitirse la posesión de jardines mucho más grandes.)
Te felicito tanto por la elegancia de la solución del problema como por su cuidada y atractiva presentación. Ni yo mismo lo habría hecho mejor.
ResponderEliminarEstoy empezando a salir de una enfermedad que, a falta de diagnóstico exacto,sólo se que ha sido provocada por un virus (asesino) que me ha tenido fuera de combate unos cuantos días y a causa del cual tengo la boca con el aspecto de la de una leprosa de la peli de Ben Hur (y no exagero demasiado).
ResponderEliminarDe momento sólo deirle al Sr. Vanbrugh que, una vez más, nos ha deslumbrado. Nosotros teníamos a Josué en el bote pero debo reconocer que sin la menor exactitud científica porque, cuando llegó la hora de clacular los ángulos y demás operaciones, ya estaba la gripe por aquí campando y mantenía a la única capaz de resolver el problema con una fiebre de 39. La discusión sobre si la sombra del sol, en el hemisferio sur, se proyecta sobre el sur o sobre el norte, estuvo a punto de acabar con los buenos modos.Total, despué sde tener descrito el problema en términos geométricos tuvimos que acabar acuiendo a las virtudes de los hermanitos y a la herencia del padre. Estaba claro que el pequeño tenía que ser Isaac, con independencia de la latitud, primero porque en el nombre debía haber dos Aes y, en sgundo lugar porque Aarón contenía una N que no encajaba por ningún lado. Tras eso todo fue darnos cuenta de que la honestidad no era una de las virtudes que adornaban al hijo mayor a pesar de tener otras muchas, entre las que destaca, sorprendentemente, la generosidad. Con estos rudimentarios elementos llegamos a Josué que resulta que es la solución científica. La cosa no fue fácil y nuestra solución estaba muy en el aire; por eso, al abrir el blog para ver a solución, me sentía como cuando fui a recoger la última papeleta de Civil de la carrera (to be or not to be) y, como entonces, ¡Sobresaliente¡.
Cuando esté un poco más recuperada agradeceré adecuadamente su interés por esta familia. Baste, por ahora, un beso muy fuerte y sentido para la familia Júbilo que se lo merece y especialmente para usted, Sr, Vanbrugh
Muchas gracias, Anónimo. Se hace lo que se puede.
ResponderEliminarQuerida Magistrada, necesito más precisiones sobre esa otra vía de solución con la que yo nunca he dado. ¿Por qué, si eres tan amable, debía haber dos A en el nombre? ¿Por qué y en dónde no encajaba la N de Aarón? ¿Qué más da que el primogénito sea o no honesto o generoso? ¿Cómo nos lleva todo ello a Josué? Te confieso que ando mucho más perdido con las virtudes de los hermanos que vosotros con los ángulos solares. Please, explain.
Me alegro de haber contribuido al bienestar de la familia A mi pesar (que no es lo mismo que haber contribuido a mi pesar al bienestar de la familia) y os deseo un pronto restablecimiento de todas vuestras dolencias.
¡Cielos, me he debido volver completamente de letras, porque me he hecho un lío atroz con los ángulos, los solsticios, las tangentes y las latitudes! Evidentemente, ya no soy la que era. ¿Por qué no te pones con "El Testamento de Bela Bardossy" y así verás lo que es sufrir, coraçao?
ResponderEliminarMagistrada, espero que el 2009 te traiga un restablecimiento completo de la salud. Muchos besos
Un aplauso admiradísimo. Pero admiradísimo en serio, ¿eh?
ResponderEliminarAbsolutamente epatado me habéis dejado tú y tu tío. Como pobre excusa diré que apenas le pude dedicar una rato a pensar sobre el problema al poco de que lo publicases; luego la vorágine en la que ando metido me hizo olvidarlo. La primera vez que lo leí intuí (acertadamente, como ahora compruebo) que la distancia de la lápida y el ángulo de la sombra eran pistas que podían llevar a correspondientes latitudes geográficas. Pero me dio muchñisima pereza ponerme a desempolvar no ya mi trigonometría sino acimutes y demás zarandajas. Opté, en cambio, por ensayat durante unos ratos combinatorias de iniciales buscando, obviamente,sinónimos de las virtudes que se citaban en el post; aunque logré algunas tímidas aproximaciones ni de lejos pude concluir, como hace Magistrada, que el benjamín se llamara ISAAC o el padre fuera JOSUÉ. En fin, que has de admitir que el problema era cabrón, de los que hay que echarles tiempo. Me quedo, sin embargo, con la rabia de no haberlo dispuesto (ni dedicado) porque a lo mejor, sólo a lo mejor, hubiese sido capaz de emular tu excelso discurso deductivo.
ResponderEliminarY, en cuanto a la otra solución ... ¿La desconoces? ¿NOs quedaremos sin saber cuáles son las virtudes con cuyas inciiales se compone el nombre de ISAAC? ¿Explicará Magistrada los vericuetos de su lógica?
He estado repasando tu explicación de los “Hermanos Benavides” y encuentro un punto al que no es en absoluto aplicable el adjetivo elegante con el que en un comentario anónimo se califica, más arriba, tu exposición.
ResponderEliminarMe refiero a esta frase: “ la latitud L del lugar de los hechos será la suma (resta en este caso, ya que D es negativo)….”
Supongo que a quien no sea muy ducho en el arte de la geometría esta explicación le tiene que resultar confusa y algo críptica. Eso de que sea lo mismo sumar que restar está bien para quien está habituado a las filigranas algebraicas, pero para aquellos de tus lectores cuyo más frecuente contacto con las sumas y restas sea la consulta de su saldo bancario, puede resultar algo aberrante e incomprensible. Más incomprensible aún si quien está tratando de seguir tu explicación se está apoyando en la figura que incluyes, en la que es preciso atribuir valores positivos a las latitudes Norte y negativos a las Sur.
La razón de todo ello es que has dibujado para explicar el problema una figura que corresponde al solsticio de verano, que es la situación totalmente opuesta a la que se estudia.
Si se hubiese tratado de un problema en el que se desconociese la fecha, estarías autorizado a representar una figura genérica en la que habría que interpretar los signos positivos o negativos de los ángulos a la vista de los resultados obtenidos. Pero no es ese el caso. Desde el principio tú sabes que los luctuosos hechos se desarrollan precisamente en la mágica y multirreligiosa fecha del comienzo del invierno Y NO TIENES DERECHO a representar gráficamente una situación diferente.
Por todo lo demás, mis felicitaciones. Es una estupenda solución muy bien presentada.
Me quedo con la curiosidad, y a la espera, de la solución “literario-moral”, basada en las virtudes, defectos y nombres de los hermanos. ¡Menudo alarde de ingenio, del que me siento nepóticamente orgulloso, supone el planteamiento de un problema resoluble en tan dispares frentes! Estoy seguro de que cualquiera de tus formidables corresponsales habituales nos la presentará en breve plazo.
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ResponderEliminarQuerido Ricardo: mi dibujo del post ilustra un principio general: el de que la latitud de un lugar cualquiera es la suma del ángulo que, en un momento dado, forman los rayos solares con la vertical en ese punto, más el que, al mismo tiempo, forman esos mismos rayos solares con el Ecuador. El principio es válido en invierno, en verano, en el hemisferio norte y en el sur, por lo que puede argumentarse gráficamente con cualquiera de estos supuestos. Mi dibujo lo ilustra, pues, correctamente, creo yo, y ayuda a entenderlo. Y una vez entendido, ese principio permite resolver el problema. Solo por esta consideración, creo que TENGO PERFECTO DERECHO a representar la situación que en él se representa. Si a ella añadimos la de que se trata de mi blog, y dibujo en él lo que me da la gana, pues más a mi favor.
ResponderEliminarCreo, además, que subestimas la capacidad de comprensión de mis lectores, y que hasta el más torpe para las matemáticas de entre ellos puede entender sin problemas que sumar una cantidad negativa es lo mismo que restar esa cantidad. De hecho, mi paréntesis que tú citas está precisamente dirigido a los profanos en matemáticas, para quienes una suma es en principio algo radicalmente opuesto a una resta, por lo que necesitan que se les explique por qué se resta donde acaba de decirse que se debe sumar. Son, en cambio, los habituados a las filigranas algebraicas los que no necesitan que se les aclare que una suma de valores de signos opuestos es lo mismo que una resta.
De modo que debo, humilde pero enérgicamente, recusar tu acusación de falta de elegancia en mi solución. Creo, con toda modestia, que estuvo más acertado mi primer comentarista anónimo, a quien harías bien en imitar.
Cigarra, lo tuyo es pereza, nada más. La misma que tengo yo para ponerme con ese problema de que hablas. Si algún día la supero y lo resuelvo, lo publicaré aquí, cuenta con ello.
ResponderEliminarMuchas gracias, David. Y muy honrado por tu visita. La admiración, por cierto, es mutua. La mía con más fundamento.
Gracias también a tí, Miroslav. Estoy seguro de que lo habrías resuelto en dos minutos si se los hubieras podido dedicar. Y no, no tengo ni idea de cuál es la otra solución, y me asombra que Magistrada haya dado con ella, porque siempre sospeché que, en realidad, no existía y se trataba de una pista falsa de mi tío.
A mi me salía otra solución: que los hermanos Nebavides eran unos peligrosos narcos mexicanos, poero en fin.
ResponderEliminarLa Magistrada hace notar, sabiamente, que en el hemisferio sur las sombras solares se proyectan hacia el sur, del mismo modo y por los mismos motivos que en el norte se proyectan hacia el norte. ¿Cómo es, pues, que en Guayaquil, situado al sur del Ecuador, Isaac Benavides nos asegura que su sombra se proyecta sobre una lápida que colocó al norte de su casa? ¿Se equivocó mi tío, nos engaña el menor de los Benavides, es errónea mi solución...? A nadie, evidentemente, salvo a la Magistrada y su aplicada familia, le ha llegado no ya a quitar el sueño, sino ni siquiera a hacerle enarcar una ceja tal cuestión, que ninguno de vosotros, mis queridos lectores, sino la concienzuda familia A mi pesar, ha llegado siquiera a plantearse. Todos os habéis quedado tan anchos con mi solución, y presumo fundadamente que os habría parecido igual de bien si os digo que el suicida vivía en Sao Paulo y se llamaba David, o que vivía en Albacete y se llamaba Toribio. No sé ni para qué publico estas cosas...
ResponderEliminarEn fin, en beneficio del rigor científico, ya que no de la Magistrada, con quien ya aclaré en privado la cuestión, ni del resto de mis lectores, a quienes es obvio que les importa un bledo, paso a explicar lo siguiente:
El Sol proyecta sus sombras hacia el norte en el hemisferio norte y hacia el sur en el hemisferio sur, sí. Y ello porque, cayendo durante todo el año verticalmente sobre el Ecuador y sus aledaños, llega al hemisferio norte, en general, desde el sur, y al hemisferio sur, en general, desde el norte.
El truco, empero, está en "y sus aledaños" y en "en general". Como la latitud sobre la que el Sol aploma varía a lo largo del año, en virtud de esa útil inclinación del eje de rotación terrestre con respecto a su plano de giro en torno al Sol que ha dado lugar a la placentera sucesión de las cuatro estaciones, sucede que hay momentos -todos, en realidad, excepto ambos solsticios- en los que su vertical cae más al norte o más al sur que el Ecuador. No mucho más -23º 26' de máxima desviación hacia el norte y otro tanto hacia el sur, en los respectivos solsticios- pero sí lo suficiente como para que en la fecha a que se refiere el problema, que es precisamente uno de estos solsticios, el máximo rigor de sus rayos se aplique sobre una latitud, la del Trópico de Capricornio, mucho más meridional que la de Guayaquil. Y para que, por tanto, la luz solar llegue a esta ciudad tan desde el sur, y proyectando las sombras tan hacia el norte, como en cualquier ciudad situada al norte del Ecuador. Ni mi tío se equivocó, ni nos mentía el benjamín de los Benavides ni mi solución es incorrecta. Ni a ustedes se les había pasado por el magín ninguna de estas cosas, ni las contrarias tampoco. Pero queda dicho, para la posteridad.
En cuanto a tu solución, mi querido Lansky, no puedo decir sino que es típicamente gangsteril, como cabía esperar de tu pseudónimo y (malas) costumbres. Ignora los datos, omite los matices y se encamina por derecho, destrozando cualquier otra consideración, a lo que a ella le interesa: una familia de narcos, que se apellidan de otro modo, son de otro país y han muerto por otras causas, léase ajuste de cuentas entre bandas rivales. Pero, como diría mi querido Meyer, ¿quén tiene aquí la pistola, vamos a ver? Pues eso.
Cuando, hacia la mitad del cuarto párrafo de mi anterior comentario, digo que "hay momentos -todos, en realidad, excepto ambos solsticios- en los que su vertical cae más al norte o más al sur...", debería, en realidad decir que "hay momentos -todos, en realidad, excepto ambos equinoccios- en los que su vertical cae más al norte o más al sur..."
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