Qué quiere usted que le cuente

Yo creía que con lo del otro día había quedado zanjada la cuestión del año cero, pero tus protestas, querido fantasma, me demuestran que no es así, y me obligan a ponerme aún más pesado sobre el asunto.

Habíamos quedado en que el ejemplo de la regla que proponías en tu sesudo comentario ilustraba claramente lo que ya se apuntaba en mi escrito original, a saber, que los números, en cualquier cuenta que se haga, pueden representarse como puntos a lo largo de una línea, y que, en esta representación, las unidades que contamos se corresponden con los tramos entre punto y punto, y no con los puntos mismos. Y que por ello el cero existe, claro que sí, tanto en las reglas, como en los años, como en cualquier otra cuenta. Pero existe como punto, no como tramo, y, por tanto, no como unidad contable. Existe en la regla un punto cero, pero no un centímetro cero. Existe en el tiempo un punto cero, pero no un año cero.

Esto suena irritantemente arbitrario, lo comprendo. ¿Por qué, si hay un punto 1 y un tramo 1, un punto 2 y un tramo 2... hay, en cambio, sólo un punto 0, pero no un tramo 0?

Respuesta a bulto y genérica: porque el 0 es un número raro – propiamente hablando no es un número, porque los números expresan cantidades y el cero indica, precisamente, que no hay cantidad alguna – lleno de singularidades y que justamente por eso tardó en ser “inventado” y en emplearse como tal número. Tanto tardó que tú, por ejemplo, como estamos viendo, todavía no lo acabas de usar del todo bien, cosa que probablemente no te pasa con el tres, ni con el quince mil trescientos ochenta y cuatro, ni con ningún otro de los números corrientes que sí expresan cantidades.

Respuesta más específica y detallada:

En esta representación gráfica de que hablamos, en que a cada punto se le asigna un número -y aquí sí entra el cero, porque esto todavía no es contar; estamos hablando aún de puntos, todavía no de tramos; estamos fabricando la regla, no midiendo con ella - cada tramo - cada unidad - recibe el nombre del punto en que termina. El tramo 1 (el centímetro 1, el año 1) es el que empieza en el punto 0 y acaba en el punto 1. El tramo 2, el que empieza en el punto 1 y acaba en el punto 2...

Hasta aquí es fácil, intuyo que el problema viene con las rayitas de la regla a la izquierda del cero, con los años de antes de Cristo, con los euros que no solo no tienes sino que debes... con los números negativos, vaya.

Y viene el problema porque probablemente me dirás: el primer tramo situado a la izquierda del cero, (el centímetro –1, el año 1 a.C), que empieza en el punto –1 y acaba en el punto 0, deberá, por tanto, como todos los demás, recibir el nombre del punto en que termina, y ser llamado tramo 0. Ya tenemos un tramo 0. ¡Sí que existía!

Pues no, señor. El punto cero se define, precisamente, por ser el punto a partir del cual se cuenta. (¡Ojo! A partir del cual se cuenta, no por el que se empieza a contar. No es el primer tramo de la cuenta, es el punto en el que empieza el primer tramo de la cuenta) Los números positivos se cuentan a partir del cero en dirección creciente, y los números negativos se cuentan, también a partir del cero, en dirección contraria, decreciente. (El –2 es menor que el –1. Si debes dos euros tienes menos dinero que si solo debes uno. Si todavía estás en el año 2 a.C has vivido menos tiempo que si estas ya en el 1 a.C)

Que contemos a partir del cero también los números negativos quiere decir que el primer tramo a la izquierda del cero NO empieza en el punto 1 y acaba en el punto 0, sino al revés: empieza en el punto 0 y acaba en el punto -1. Y, por tanto, debe llamarse, como todos, igual que el punto en que termina: tramo –1.

Y esto sigue siendo cierto en el caso de los años, porque aunque el año 1 a.C comenzó, históricamente, en el punto –1 y acabó en el punto 0, aquí no estamos hablando de la dirección en que transcurrió efectivamente el año real, sino de la dirección en que lo contamos en nuestra cabeza, que es exactamente la contraria. Perdóname si insisto, pero es fundamental: el punto cero se define, precisamente, por ser el punto a partir del cual contamos, tanto hacia un lado como hacia el otro, y si no contáramos a partir de él, ya no podríamos llamarlo punto cero.

Y el pobre punto cero, como en él, por definición, empiezan dos tramos (el tramo 1 y el tramo –1), pero no acaba ninguno, tampoco tiene ningún tramo que se llame igual que él. Es el único punto de la regla que no da nombre a ningún centímetro, el único punto del tiempo que no da nombre a ningún año... el único número, en definitiva, que no se corresponde con ninguna unidad, lo que concuerda muy adecuada y matemáticamente con la naturaleza del número que le hemos asignado, que es la ausencia de unidades. Cero unidades. Ninguna unidad.

Esta singularidad del punto cero quizás resulte más fácil de entender si pensamos en un largo tramo de valla metálica sujeta al suelo con postes. Para sujetar UN trozo de valla hacen falta DOS postes, uno en cada extremo del trozo. Para sujetar DOS tramos, hacen falta TRES postes... Siempre hay un poste más que trozos de valla, un punto más que tramos. Si a cada trozo de valla le hacemos corresponder un poste comprobamos que hay siempre un poste que se queda sin trozo, un punto al que no corresponde ningún tramo. Ese que sobra es el punto cero, el poste a partir del cual hemos empezado a contar

Aunque no lo parezca - porque las monedas, los hijos y los sacos de harina no van pegados unos a otros formando un todo continuo, como los centímetros en la regla, los años en el tiempo o los trozos de valla en la valla - lo que acabo de explicar es exactamente igual de aplicable cuando lo que contamos son monedas, hijos, sacos de harina o cualesquiera otras cosas, sean o no fácilmente divisibles (y digo fácilmente porque TODAS las cosas son divisibles, excepto, creo, los quanta de energía y los protones y electrones; la única diferencia está en los destrozos que sea necesario producir para dividirlas. Y mentalmente, ni siquiera hay que hacer destrozos. Yo puedo perfectamente considerar en mi cabeza la décima parte de una oveja, o la milésima parte de un piso de cuatro habitaciones, sin que ni piso ni oveja sufran menoscabo apreciable).

En esta cuenta de monedas, niños o sacos, como en cualquier otra, los puntos a los que asignamos números como paso previo a la cuenta propiamente dicha, no se corresponden con las unidades que contamos, sino con las separaciones entre unidad y unidad, es decir, con los momentos lógicos en que consideramos completa una unidad y aún no hemos empezado a considerar la siguiente. Con los postes de la valla, vaya, en los que ya se ha acabado el tramo de valla anterior y aún no ha comenzado el siguiente

Decimos que tenemos cinco euros cuando ya hemos tenido en cuenta, completos, los cinco primeros euros, y todavía no hemos empezado a tener en cuenta ni un poquito del sexto. Y esos cinco euros podemos definirlos en nuestra cabeza – que es donde tiene lugar el acto de contar – como los cinco tramos lógicos comprendidos entre los seis momentos lógicos a los que hemos asignado los seis números que van del 0 al 5. El euro número 1 es el tramo lógico comprendido entre el momento lógico 0 (cuando aún no hemos contado ningún euro) y el momento lógico 1 (cuando ya hemos contado un euro, y aún nada más que uno). El euro número 2 es el tramo lógico comprendido entre el momento lógico 1 (ya un euro y aún nada más que uno) y el momento lógico 2 (ya dos euros y aún nada más que dos).

Y todo ello porque también cuando contamos euros, hijos y cuadros de Goya sigue siendo verdad que a lo que en primer lugar asignamos números no es a las unidades, sino a las separaciones entre unidad y unidad; y que solo después de esta operación mental, instantánea e inconsciente, cuya plasmación física más visible es la confección de la regla con la que luego mediremos, empieza la verdadera cuenta, la medición, que consiste en asignar a cada unidad el número de la separación entre esa unidad y la siguiente, el número del momento lógico en que consideramos a esa unidad ya completa y todavía no hemos empezado a tener en cuenta la que viene después.

Por eso no hay ninguna unidad a la que debamos asignar el número cero: porque el momento lógico cero no separa ninguna unidad de la siguiente, dado que es, por definición, el momento en el que aún no hemos considerado ninguna unidad y en el que empezamos a tener en cuenta la primera, sin que exista ninguna anterior de la que separarla. Y por eso el número cero no nos hace falta para contar, y los romanos y los griegos, (que no es que no lo conocieran, sino que no le habían puesto nombre, es decir, que no sabían que lo conocían) contaban exactamente igual que nosotros, y llegaban a los mismos resultados.

Por eso no hay un euro al que debamos llamar euro cero, ni un hijo al que debamos llamar hijo cero, como no hay ningún centímetro cero, ni ningún año cero. Por eso, al contar, no empezamos por cero, como bien sabía Dionisio. Por eso el cero es un número raro, y sólo empezó a utilizarse conscientemente muchos siglos después que todos los demás.

No es que Dionisio no lo usara porque aún no se conocía, como tanto se ha dicho, sino justo al revés. Aún no se conocía porque ni a Dionisio ni a nadie le había hecho falta hasta entonces para contar, ni se la ha hecho después. Hace falta para otras cosas. Para contar, no.

Insisto, contar es una operación mental, no física, que tiene lugar en nuestra cabeza y en ningún otro sitio. Esta ubicación privilegiada nos permite pegar unas a otras las monedas como si fueran años, separar unos años de otros como si fueran monedas, dividir mentalmente en diez, doce, cien o un millón de partes los hijos y los cuadros de Goya como si fueran euros, considerar agrupaciones de cien monedas de céntimo como si fueran una única y sólida moneda de euro, hacer que los años transcurran, a efectos de su cuenta, comenzando por su final cronológico, si es ese final el que hemos decidido tomar como punto de partida de la cuenta y al que, por tanto, hemos asignado el número cero... En nuestra cabeza, de momento y en tanto Carod Rovira no ordene a Maragall que ordene a Zapatero que disponga otra cosa, podemos hacer lo que nos dé la gana.

Y lo que en ella hacemos cuando contamos es reducir cualquier objeto contable, sólido o líquido, material o ideal, fraccionable o no, fraccionado o no, al concepto abstracto de unidad, y tras haberlo hecho, contar unidades, asignando a cada una el número que, en nuestra regla mental, corresponde al momento lógico que la separa de la siguiente.

Contar unidades. Siempre contamos unidades, nunca ninguna otra cosa. Contamos tramos enteros entre punto y punto, y, para hacerlo, nos da exactamente igual lo que suceda dentro del tramo: si puede o no dividirse en partes menores, si está efectivamente dividido o si no lo está.

Si puede ser dividido, e incluso si efectivamente lo está, lo único que pasará es que, cuando se nos hayan acabado los tramos completos, cuando lo que nos quede, o su representación sobre la famosa recta, ya no alcance la distancia entera entre un punto y el siguiente; cuando ya no queden más años enteros, o más euros enteros, y sí solo pedazos de ellos menores que lo que hasta ese momento estábamos tomando como unidad, entonces daremos por acabada la cuenta de los años o de los euros y comenzaremos una nueva cuenta, de fracciones de euro o de año. Simplemente, cambiaremos de unidad. Y volveremos a empezar a contar unidades, que es lo único que sabemos contar. O mejor dicho, que es en lo que automáticamente convertimos cualquier cosa por el mero hecho de decidir contarla. Solo que esta vez las unidades que contemos serán meses o céntimos. Pero las contaremos exactamente igual que contábamos los años o los euros, porque contar es siempre la misma operación, siempre son unidades lo que contamos – representen lo que representen – y siempre las contamos de la misma forma: 1, 2, 3...

Si después de este fárrago espantoso -suponiendo que lo hayas aguantado hasta aquí - sigues pensando que en la regla hay un centímetro cero o en el tiempo un año cero; o que debería haberlos y que el hecho de que no los haya supone una quiebra lógica de las matemáticas; o que lo correcto sería que empezáramos a contar los años por el cero aunque no lo hagamos así con el resto de las cosas; o que saber que un euro puede dividirse en cien céntimos o un año en treinta y un mil quinientos millones de milésimas de segundo influye en algo sobre la manera en que debemos contar las monedas de euro o los años... entonces no solo es que tú no tienes remedio como alumno de matemáticas, sino que tampoco yo lo tengo como profesor, y es mejor que los dos nos dediquemos a cualquier otra cosa.

Lo que, por si acaso, procedo a hacer en este mismo momento.

Año cero

Durante los dos últimos años del anterior milenio y el primero de este los que no teníamos nada mejor que hacer discutimos hasta la saciedad cuándo se producía realmente el cambio de siglo y de milenio.

La facción romántico-impaciente quería que el nuevo siglo empezara en cuanto el número mágico, 2, hiciera su primera aparición en las cifras de los años; y, en consecuencia, sostenían que 1999 era el último año del siglo XX y del segundo milenio y que el 1 de Enero de 2000 comenzaban el milenio tercero y el siglo XXI. Pedirles argumentos a favor de esta afirmación era ponerlos en un serio aprieto.

En cuanto a la facción matemático-tocapelotas, nos limitábamos a afirmar que si la peseta número cien corresponde al cambio de la primera moneda de veinte duros, y no al de la segunda, con igual derecho el año número 100 pertenece al siglo I y no al II; y que basta iterar este sencillo razonamiento veinte veces para comprender que el año 2000 está dentro del siglo XX y no del XXI.

Solo los más refractarios a las matemáticas se resistieron a esta evidencia, y los dejamos por imposibles. Pero el resto encontró enseguida un nuevo argumento para entrar en el tercer milenio con un año de antelación. “Ya” –contestaron –“pero es que los años se empiezan a contar por el cero. El primer año de nuestra era fue el año 0. Y así sí que cuadra: del año 0 al año 99, el siglo I. Del año 100 al 199, el siglo II. ... Del año 1900 al 1999, el siglo XX. Y al llegar al año 2000 estamos ya en el siglo XXI, que es lo que nos apetece.”

El argumento presentaba unos insidiosos visos de verosimilitud matemática, porque, en efecto: si para pasar de los números negativos a los positivos hay que cruzar el 0, y contamos “-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...” ¿por qué no va a ser lo mismo con los años y no vamos a poder contar “año 3 antes de Cristo, año 2 antes de Cristo, año 0, año 1 después de Cristo, año 2 después de Cristo...”?

Al intentar refutarlo comprobamos que el número de los reñidos con el álgebra aumentaba considerablemente. Empezábamos a explicar que en esa relación de números, cada número representa un punto, y, efectivamente, existe un punto 0 entre el punto –1 y el punto 1; pero que los años –y cualesquiera otras unidades que queramos contar– no deben equipararse con esos puntos, sino con los tramos comprendidos entre ellos. Y que no existiendo ningún tramo 0, sino solo un tramo –1 (que va del punto –1 al punto 0) e, inmediatamente después, un tramo 1, (que va del punto 0 al punto 1), tampoco, en conclusión, debe existir ningún año cero, y el único 0 del que cronológicamente cabe hablar son las 24:00 horas del 31 de Diciembre del año primero antes de Cristo, o instante que separa el año –1 del año 1. Pero mucho antes de que llegáramos a esa luminosa conclusión ya nos habían mandado al cuerno para afirmar desdeñosamente que el primer año fue el año cero, que lo demás son mandangas de maniáticos incapaces de reconocer que hay cosas en las que las matemáticas no pintan nada, y que el siglo XXI empieza con el año 2000.

Atacamos entonces por otro lado, y por aquí sí se rindieron enseguida. “De acuerdo” –dijimos– “eso sería si se hubiera empezado a contar por el cero. Pero es que no se hizo así. Cuando en el siglo VI un tal Dionisio el Exiguo numeró los años transcurridos desde el nacimiento de Jesús, llamó año 1 al primero, y a partir de ahí a todos los demás en ambas direcciones, y, en consecuencia, la historia conocida no registra ningún año 0, y pasa directamente del año 1 a.C. al año 1 d.C. La cosa no tiene ya remedio.”

Esto ya eran hechos, no teorías discutibles, y tuvieron que aceptarlo. Entramos, pues, en el nuevo milenio el día 1 de Enero de 2001, como debe ser, y para aquel entonces ya estaba todo el mundo bastante aburrido del tema (menos yo, como puede apreciarse). Pero quedó un cierto rencor hacia el tal Dionisio, que se había equivocado de año –porque resulta que Jesús no nació cuando él creía que lo había hecho– y, para remate, metió la pata y llamó año 1 al primero de su cuenta, en vez de llamarlo año 0, como exigían el recto sentir y las ganas de cambiar de siglo cuanto antes. La impresión general fue que por su culpa habíamos tenido que esperar un año de más para disfrutar de los cohetes y demás celebraciones milenarias.

Enseguida hubo almas buenas que le buscaron una disculpa. “Claro, cómo iba Dionisio a llamar cero al primer año, si en su tiempo el cero todavía no se había inventado.” Y con esto nos quedamos todos tranquilísimos. Ya no hacía falta enfadarse con Dionisio y, además, estábamos otra vez del lado de la ciencia. Las cosas se habían hecho mal, pero es que en aquel entonces no había tantos adelantos... no había cero... qué iban a hacerle, los pobres...

Bueno, pues no. Yo no estoy dispuesto a que la cuestión quede ahí. No es cierto que Dionisio el Exiguo no empezara a contar los años por el cero “porque no se había inventado aún”, y, a riesgo de parecer pesado, no tengo más remedio que insistir en ello.

Efectivamente, el cero no se había inventado, pero eso no tiene nada que ver. La causa de que Dionisio no empezara a contar por el año cero no es esa sino, sencillamente, que NO SE EMPIEZA A CONTAR POR EL CERO.

Nada. Nunca. Ni los años, ni ninguna otra cosa. Ni en tiempo de Dionisio, ni en el nuestro. Ni antes de que se inventara el cero, ni después, porque no se inventó para eso.

No contamos los cinco céntimos de nuestro bolsillo diciendo “cero, uno, dos, tres y cuatro”, sino diciendo “uno, dos, tres, cuatro y cinco”. Por eso, porque empezamos en uno y acabamos en cinco, es por lo que sabemos que tenemos cinco céntimos, que es para lo que sirve contar.

El día primero de cada mes es el día 1, no el día 0, por eso “primero” se escribe “1º” y no “0º”. Enero es el mes 1, no el mes 0. El primer siglo fue el siglo I, no el siglo 0, por eso al actual lo llamamos siglo XXI y no siglo XX. El primer milenio fue el 1, no el 0, y por eso ahora estamos en el milenio 3, y no en el 2.

¿Por qué íbamos a emplear para contar años un sistema diferente del que empleamos para contar céntimos, días, meses, milenios o sacos de harina? Y si lo hiciéramos ¿cómo, si es correcto el que utilizamos para contar todo lo demás, iba a serlo también el distinto que usáramos para contar años? Contar, cuéntese lo que se cuente, es siempre la misma operación: poner en relación el conjunto de los números naturales con el conjunto de cosas cuyo número queremos averiguar. Y sólo puede hacerse de una manera, siempre la misma. Si esa es la adecuada, no puede serlo a la vez otra distinta.

Para contar es preciso que haya algo, y el cero es el número que utilizamos para decir que no hay nada. Nada que contar. Situación anterior a ninguna posible cuenta, que solo puede empezar cuando hay, al menos, uno. 1.

Bastan y sobran estas nociones axiomáticas de aritmética elemental, que los niños aprenden –los que las aprenden– a los siete años, para explicar por qué el primer año de nuestra Era fue el año 1, por qué, por tanto, el siglo XXI empezó el 1 de Enero de 2001, y por qué no podría haber sido de ningún otro modo, ni antes ni después de empezar a utilizarse el cero.

Hasta el exiguo de Dionisio fue capaz de entenderlo.