La jornada de un obseso mental. Y Parte 3ª

Para Ricardo, por proveerme de combustible. Y para Miroslav, por prestar atención a mis humaredas y hasta dedicarles un post.

Recuerden ustedes que este post es el tercero de una serie con primera y  segunda parte, que espero que lo hagan un poco más inteligible.


La convalecencia.

Quedamos en que yo estaba hondamente perturbado por los inesperados sucesos que habían tenido lugar en mi ordenador.

Eran mis datos, obtenidos a golpe de mi dedo, con mi simulador, los que desafiaban impertinentemente leyes fundamentales de la estadística, bajando y subiendo irresponsablemente en circunstancias en las que habrían tenido que limitarse a bajar.

Era en mi tabla de frecuencias donde una clínica de diez nacimientos diarios se permitía alcanzar o superar el sesenta por ciento de varones más frecuentemente que otra de solo cuatro nacimientos diarios, en abierta rebeldía contra el principio indiscutible según el cual debía hacerlo menos frecuentemente.

Urgía encontrar una explicación a acontecimientos tan escandalosos. Y sobre todo urgía tomar la primera medida que a uno se le ocurre en situaciones como esta: buscar alguien a quien echarle la culpa.

Yo empezaba a barruntar una posible explicación de la sorprendente conducta de mis frecuencias, pero no iba a ponerme a investigarla sin estar seguro de que la cosa lo mereciese. Ganas de perder el tiempo y de buscarse problemas sin necesidad.

No, no; lo conveniente era que, antes de que yo me enredara en explicaciones comprometedoras, alguna autoridad matemática competente se hiciera cargo de la peligrosa situación, asumiera la responsabilidad de lo que allí estaba pasando y estableciera oficialmente si aquellas cifras mías podían o no dedicarse legítimamente a pegar saltos.

De modo que me puse a buscar con denuedo a esa autoridad matemática. En Internet, claro, dónde si no. Mis Matemáticas de COU, última ocasión en que yo supe algo de Cálculo de Probabilidades, yacían perdidas por algún rincón poco frecuentado de mi memoria, y a quitarles el polvo con la ayuda de Gúguel me apliqué con ahínco.

Afortunadamente tardé muy poco en dar con Daniel Bernouilli, un señor del siglo XVIII, medio holandés, medio suizo, que parecía dispuesto a interesarse por mi problema. A mí me sonaba que era físico y se ocupaba de cosas como cañerías y fluidos, pero por lo visto también se había interesado por las probabilidades. Con los sabios del XVIII y del XIX da gusto, servían para un fregado lo mismo que para un barrido, sabían de todo. No como los de ahora, que en cuanto nos sacan de nuestra especialidad ya no sabemos ni por dónde nos andamos.

Este buen señor, me informó la Wiki, habia estudiado largamente, e incluso dado nombre, a la distribución de variable discreta de Bernouilli.

Lo de "discreta" empezó ya por caerme en gracia: si había yo metido la pata con mis exceles, no quería darle tres cuartos al pregonero y que se tuviera que enterar todo el mundo.

Hablando más propiamente, precisamente por ahí iban mis esperanzas de explicación: los altibajos de mis datos se producen, empezaba yo a creer, porque se refieren a un fenómeno discreto, y no continuo. Esto es, porque su variable (el niño o la niña) no es infinitamente divisible, sino que tiene una unidad mínima, indivisible: el bebé propiamente dicho, que no puede ser dividido sin provocar comentarios. Ese de la discreción creía yo que iba a resultar el quid del asunto –luego hablaremos de ello, no se preocupen–, y por eso la distribución esta de probabilidades, sea lo que fuere, con ese nombre tan oportuno, tenía toda la pinta de venirme al pelo.

Y así resultó ser porque, según la Wiki, Don Daniel sabía cómo se calcula lo que precisamente necesitaba yo averiguar por vías distintas de las empíricas que tantos problemas me estaban dando: cuál es la probabilidad de que, de diez niños nacidos, seis sean varones.

Él, más genéricamente, enfocaba el asunto así: la probabilidad P de que al realizar n veces un ensayo se produzca k veces uno de los posibles resultados (cuya probabilidad individual es p) viene dada por la siguiente fórmula:

Que se vuelve menos hermética si recordamos que n!, "ene factorial", es el producto de todos los enteros desde 1 hasta n. Y más legible todavía si, aprovechando que nuestro caso no presenta más que dos posibles resultados, niño o niña, cada uno de ellos con una probabilidad de 0'5, por lo que p y (1-p) valen ambas 0'5, la escribimos así:

Con lo que ya estamos en condiciones de cambiar n por 10, y k por 6, y encontrar que la probabilidad de que haya seis niños entre diez recién nacidos es:

Lo que, realizadas las operaciones correspondientes, resulta valer 0'20507

Pero no solo nos sirve alcanzar el 60% de niños, los 6 calculados; también nos vale superarlo. O sea, que también tenemos que considerar como resultado favorable que nazcan 7, 8, 9 o 10 varones. Y podemos calcuar igualmente las probabilidades de cada uno de estos casos:

De que haya siete niños  : 0'11719
De que haya ocho niños  : 0'04394
De que haya nueve niños: 0'00976
De que haya diez niños   : 0'00098

Sumando estas cinco probabilidades obtenemos la de alcanzar o superar el 60% de varones con diez nacimientos diarios: 0'37695.  El 37'7% de probabilidad.

(Mi simulador decía que era el 37'5%, dos décimas menos. No iba tan descaminado).

Si hacemos lo propio con la clínica de cuatro nacimientos diarios, que supera el 60% de varones cuando nacen 3 niños (75%) y cuando nacen 4 niños (100%), nos encontramos con que en su caso las probabilidades son:

De que haya tres niños     : 0'25000
De que haya cuatro niños: 0'06250

Que suman 0'31250, un 31'25% de probabilidad. Mi hoja de Excel la había fijado en el 31'0%. Otra vez dos décimas menos. Se desvía hacia abajo, parece, tendré que ajustarle la mira. 

Bueno, pues asunto aclarado. Qué fáciles se vuelven las cosas cuando las coge entre manos un experto. Ya podía yo descansar tranquilo. Mis frecuencias hacían cosas raras y con pinta de ilegales, sí, pero quedaba comprobado que las hacían con conocimiento y permiso de un matemático competente de reconocido prestigio. No era culpa mía, ni de mi simulador. De ser culpa de alguien, sería del Bernuiyí este, que para eso viene en la Wiki.

Mi satisfacción no se debía solo a haberme quitado ese peso de encima. Estaba también muy contento porque mis hojas de cálculo, a fin de cuentas, funcionaban bien. Ahora que conocía el modo de calcular las probabilidades teóricas, me apañé una nueva hoja con la formulita del holandés-suizo, con la que averigüé las frecuencias con que, según él, superaban el 60% de varones todos los hospitales de mi tabla. (Es decir, no todos, solo los 170 primeros. Porque para calcularlas hay que encontrar primero cuánto vale el factorial de su número de nacimientos. Ese "!" puesto detrás del numerito, ¿se acuerdan? que quiere decir que hay que multiplicarlo por todos los inferiores hasta el 1. Y Excel no da para calcular el factorial de números más grandes que 170. Habida cuenta de que el factorial de 170 vale 7'257 multiplicado por un 1 seguido de trescientos seis 0, tampoco es de extrañar).

El caso es que de las ciento setenta, más de la mitad coincidían exactamente (vamos, hasta el primer decimal, que es donde yo redondeé) con las que había encontrado yo a golpe de simular años dando clics en el ratón. Y, de la mitad que no coincidían, solo una se alejaba cuatro décimas (la del hospital de 5 nacimientos, un 50'4% que desde el principio me cantó), las demás se iban una, dos o, como mucho tres décimas arriba o abajo. No hacía falta ajustarle la mira, mira qué bien.

Y también estaba muy contento por haber puesto al día mis conocimientos de cálculo de probabilidades, que me vendrán muy bien para cuando juego al póker. Para perder con más conocimiento de causa.

Pero sobre todo estaba contento porque, por fin, había dado con la explicación de la conducta ciclotímica de las dichosas frecuencias. No hay como las matemáticas para poner las cosas en claro. Los altibajos de mi tabla tenían sus motivos, como enseguida veremos. De hecho solo parecían contradecir las leyes estadísticas, porque lo que en realidad hacían cuando pegaban esos botes tan espectaculares era cumplirlas escrupulosamente.

(Vaya, hombre, ahora que había quedado claro que no era culpa mía, resulta que todo está en orden y que no hay nada de lo que echarle la culpa a nadie. Siempre pasa lo mismo).

Y en realidad esta explicación, como todas una vez se conocen, era bastante simple. Se la cuento en cuatro párrafos:

Quizás recuerden uno de los dibujitos decorativos pero innecesarios de mi anterior post, en el que se señalaban, como por pasar el rato, los máximos y los mínimos locales de la quebradiza curva de frecuencias. Bien, a lo mejor no es un gráfico tan inútil como yo creía.

No se ve muy bien, porque Excel coloca las cifras de los ejes de aquella manera: pero las barras azules de este gráfico, que son los máximos locales de frecuencia, resultan todas corresponder a los hospitales cuyo número diario de nacimientos es múltiplo de cinco: 5, 10, 15, 20... 100. Lo son todos los que están, y están todos los que lo son.

Entre otras útiles características, los números que se pueden dividir por 5 exactamente, sin dejar resto, presentan la de tener un 60% entero, sin decimales. El de 5 es 3, el de 10, 6, el de 15, 9...., el de 150, 90..., el de 300, 180.

Son los únicos enteros a los que les pasa, además. Todos los demás números enteros, los no divisibles exactamente por cinco, tienen un 60% no entero, con una parte decimal más o menos larga. De todos los "sesentas por ciento" de los números enteros, solo los de los múltiplos de cinco son también números enteros, y van por el mundo sin arrastar una ristra de numeritos tras la coma.

(Es fácil entender por qué es así: 60% = 3/5. El sesenta por ciento de algo es lo mismo que tres quintas partes de ese algo. Si la quinta parte es un entero, al multiplicarla por tres da tambien un entero. Si no, malamente, porque el cinco y el tres son ambos primos y no tienen divisores comunes).

Lo de tener decimales no tiene por qué ser un problema para un número, en general. Conozco muchos números racionales, y hasta irracionales, que son muy felices siéndolo. (Aunque los que mejor se lo pasan, creo, son los imaginarios, si bien a veces tienen ciertos complejos). Solo empieza a ser algo delicado cuando se habla de partos, por ejemplo, o de niños. 

Si para alcanzar el 60% de varones sobre su total diario de nacimientos una clínica necesita dar a luz 2'4 niños, por ejemplo, porque en ella nacen 4 bebés al día ¿cómo hace? No puede detener el parto cuando asoman solo cuatro décimas partes de niño para señalar el histórico momento en que alcanza el umbral señalado. Menos aún puede amputarlas de los otros seis décimos de niño y declarar que con lo ya parido se da por satisfecha. Ni siquiera puede decidir que el recién nacido tiene de niño solo las cuatro partes necesarias para llegar al 60%, y que las otras seis que ya no hacen falta pueden ser de niña, si quieren.

Como adelanté hace un rato, ser niño o niña es un fenómeno discreto. Su variable tiene una unidad mínima e indivisible, es niño, o niña, entero, en bloque y con todos sus tres kilos y pico de peso. No hay bebés que tengan un 0'3457 de varón y el restante 0'6543 de hembra, o no al menos de modo que la comadrona pueda apreciarlo a simple vista y consignarlo en el estadillo con sus correspondientes decimales.

Si no fuera así, si los niños, o su condición de macho o hembra, fueran tan divisibles como conviniera, y su nacimiento y sexualidad, por tanto, un fenómeno de variable continua, todos los hospitales de nuestro problema situarían tranquilamente sus frecuencias de 60% de varones sobre la graciosa curva que marcan los máximos de nuestro dibujito, que es la que de verdad corresponde a ese umbral del 60%. Una vez alcanzado el número y pico de varón necesario, darían por cumplida su misión y pasarían tan contentos al siguiente parto, cuando lo hubiere. No habría dientes de sierra en nuestro problema, y yo no habría tenido que escribir estos tres terribles posts.

Pero es así, el sexo es una variable discreta, de unidad indivisible (como Ehpaña), y es por eso por lo que cuatro de cada cinco de los hospitales de nuestro problema, alcanzado el 60% de varones, tienen que seguir adelante con la criatura entera, dejar atrás el 60% y alcanzar, de hecho, otro umbral superior, cuya frecuencia de llegada es, por consiguiente, más baja. Y por ello no se sitúa sobre la curva que de verdad corresponde al umbral del 60%, la de los máximos, sino sobre otras curvas, más bajas, que corresponden a estos otros umbrales, más altos:

O, dicho de otro modo, las frecuencias que tanto nos han sobresaltado dibujando esa línea caprichosamente picuda solo corresponden al 60% en el caso de los máximos. Los otros cuatro hospitales de cada cinco están señalando en ella, en realidad, la frecuencia con la que alcanzan esos otros umbrales más altos a los que por fuerza tienen que llegar para ser "iguales o mayores" que el dichoso 60%. Frecuencias que, en exacto cumplimiento de las leyes estadísticas, son más bajas cuanto más alto sea ese otro umbral al que verdaderamente corresponden.

Arriba, en rojo, los umbrales (% de varones sobre el total de nacimientos) realmente alcanzados por cada hospital (siempre iguales o mayores que 60%). Abajo, en azul, las frecuencias con las que se alcanzan (% de días en los que se supera el umbral). Las líneas verticales permiten ver cómo a una subida en el umbral corresponde siempre una bajada en la frecuencia, y cómo a las frecuencias máximas les corresponde siempre el umbral del 60%. Como los umbrales se alejan cada vez menos de este límite inferior, las frecuencias se alejan cada vez menos de la curva de los máximos.

O sea, que mis cifras no pegaban saltos para desobedecer los principios de la Estadística, sino para ajustarse a ellos. Y nosotros, escandalizándonos.

Todo lo cual creo yo que nos permite dar por resuelta la cuestión y por suficientemente explicado el asunto. Confesemos que ya iba siendo hora.

Para terminar: el resultado es que estos hospitales en los que diariamente no nace un número de niños múltiplo de cinco desperdician buena parte de un niño para cumplir con la condición del problema. Este inevitable despilfarro de varonez, si quieren verlo así, baja su rendimiento y hace que superen el 60% de varones con una frecuencia inferior  a la que alcanzan otros hospitales, más ahorrativos por ser múltiplos de cinco sus números de nacimientos diarios.

Pero, sea cual sea el tamaño del hospital, la cantidad de varón así desperdiciada a los efectos de superar el 60% no llega en ninguno a un niño entero. El "sobrante" de masculinidad, en consecuencia, es cada vez menos importante en proporción al número total de nacimientos. No es lo mismo malgastar 0'6 niños de un total de 4 que malgastar 0'8 niños de un total de 182. El derroche va siendo proporcionalmente menor a medida que aumenta el número de nacimientos diario, y su incidencia sobre las frecuencias también. Los dientes de sierra de la curva, en resumen, son cada vez menos marcados.

Y hay que ver lo tranquilo que me he quedado yo.

La jornada de un obseso mental. Parte 2ª

Si no entiende usted nada de este post, debe tener en cuenta que se trata de la continuación de otro post, la 1ª parte. Si leída esta 1ª parte sigue sin entender nada, entonces ya sí puede estar seguro de que no es culpa suya.

Los síntomas se agravan.

Hay que decir en mi descargo que tuve cómplices. El culpable, o al menos el catalizador de esta y de algunas otras de mis afecciones mentales, puesto al tanto de mis indagaciones, decidió alentarlas enviándome una versión de mis hojas mejorada mediante el empleo de macros.

No me pregunten qué son las macros, porque no lo sé con exactitud. Tan solo que son una utilidad de las hojas de cálculo que aumenta vertiginosamente sus posibilidades. Les permite hacer cosas por su cuenta, en vez de limitarse a registrar las que hace el usuario, y en consecuencia las convierte en una especie de programas informáticos. Como tales, las macros son potencialmente peligrosas –quien las haya programado puede ser un avieso hacker que les haya ordenado hacer cosas "malas"– y Excel las trae deshabilitadas de fábrica. Para utilizarlas hay que habilitarlas primero en tu ordenador, y arriesgarte así a que te pase cualquier cosa después. Yo no las había usado nunca, e ignoro aún cómo se programan, aunque espero que no por mucho tiempo. Hay muuuchos fines de semana.

Por mi parte, lejos de contentarme con mis averiguaciones, me encontraba en plena fase maníaca y, abandonada toda mesura, me había dedicado también a mejorar mis hojas en la modesta medida de mis posibilidades. Ahora ya me permitían considerar hospitales de cualquier tamaño, no solo de 15 o 45 nacimientos diarios, sino de todos los posibles, desde 1 hasta 300. (Me pareció un límite razonable para un hospital, aunque no tengo ni idea de cuántos niños nacen cada día en uno de los grandes, La Paz o el Gregorio Marañon). Y podía también averiguar las frecuencias con que cualquiera de ellos alcanzaba o superaba no solo el umbral del 60% de niños, sino cualquier otro, desde el 50% hasta el 100%. Bastaba con introducir ambas variables en sendas casillas, sin necesidad de cambiar nada más en la hoja.

Así perfeccionada mi hoja con mis nuevas disposiciones y, sobre todo, con la macro de mi colaborador, la cosa era realmente sencilla. Fijabas el tamaño del hospital y el porcentaje de niños a superar, reseteabas y te ponías a simular año tras año, sin más que apretar  un botoncito para añadir un año más. Ya no era necesario apuntar trabajosamente en un papel aparte el resultado de cada año, para sumarlos luego y hallar su media. La hoja lo hacía por tí, iba sumando porcentajes anuales, dividiéndolos por el número de años y reflejando la media así hallada en una celda. Vean qué hermosura:

Armado de este prodigioso instrumento de aspecto engañosamente simple e inofensivo, y poseído de la perentoria necesidad de averiguar con qué frecuencia alcanzaba cada hospital los distintos umbrales, me apliqué, ávido, a darle al botón. Las cifras bailaban alegremente en la celda amarilla con cada nuevo clic. Se acabó el limitarse a 25 tristes años, ahora podía simular cuantos quisiera, 300, 400..., 1.000... sin más que un leve cansancio de dedo.

Digo que las cifras bailaban, y vaya si lo hacían. El último entero de la casilla amarilla se fijaba bastante pronto, pero los decimales seguían cambiando aún tras haber simulado doscientos años o más. Hasta los trescientos y pico golpes de dedo sobre el ratón no solía suceder que se estabilizara el primer decimal, que el segundo se decidiera a mantenerse en valores claramente mayores o menores que 5 y que yo pudiera juzgar, en consecuencia, que el porcentaje hallado empezaba a ser de fiar. Algunos recalcitrantes exigían cuatrocientos y hasta quinientos años antes de sentar la cabeza.

Trescientas y pico pulsaciones de índice sobre el ratón, pues, para cada uno de los trescientos tamaños de hospital posibles, y eso solo para averiguar las frecuencias con que alcanzaban el umbral del 60% de niños. Otros tantos si quisiera, además, conocer sus frecuencias para el 55% de niños, otros tantos para el 70%, otros tantos para el 80%...

No me importaba nada, estaba decidido a averiguar por vía empírica todo lo averiguable sobre la cuestión, así me costara un síndrome agudo del túnel carpiano.

(Mi mujer y mi hijo me observaban a distancia con cierta preocupación, cuchicheaban entre sí y me dirigían de vez en cuando, con gran prudencia, palabras de cariño y aliento a las que yo contestaba distraídamente. Acabaron decidiendo organizar su fin de semana sin contar conmigo).

(Pero el sábado salimos a cenar con unos amigos, y el domingo comimos con la familia, y superé ambas situaciones sin provocar comentarios. Quiero decir que, con todo, era capaz de mantener cierta fachada de normalidad).

Había un motivo para esta obsesión, es hora de decirlo. Al principio me había movido solo el deseo puramente deportivo de conseguir que mi hoja de cálculo fuera un buen simulador de nacimientos. Pero cuando empecé a registrar en una tabla los primeros resultados que me proporcionaba, descubrí con sobresalto que estos resultados hacían cosas por completo inesperadas.

Vean, si no, los cinco primeros porcentajes que mi hoja me había dado, y díganme si no es para sobresaltarse un poquito:

¡¡¡¡  !!!!

Se dan ustedes cuenta ¿no? Al subir de 1 a 2 nacimientos diarios, la frecuencia de días con un 60% de niños bajaba muy satisfactoriamente, del 50% al 25%. Hasta ahí, perfecto.

Pero al subir de 2 a 3 nacimientos diarios ¡la frecuencia subía también! ¡Otra vez al 50%!

Y no solo eso, sino que de 3 a 4 bajaba otra vez, sí, pero menos que había bajado para 2. Y con 5 nacimientos diarios, no solo volvía a subir hasta el 50% inicial, sino que lo superaba en cuatro décimas!⁽¹⁾

¡Pero qué estaba pasando aquí!

Tenía que haber un error. Algo en mi simulador no estaba funcionando como debía. Mi cómplice, sin duda, y sus peligrosas macros, habían estropeado mi Excelente invento. Volví a acumular clics como un poseso para obtener de nuevo los primeros resultados, pero la hoja insistió en darme las mismas o parecidas cifras.

Cuando la información es contradictoria, pensé, quizás solo sucede que nos falta información. Veamos qué sigue pasando con hospitales de tamaños mayores: en algún momento tendrán que asumir sus responsabilidades estadísticas y entrar en razón.

De modo que, suspendidas de momento las especulaciones teóricas, me apliqué con ahinco a darle al botoncillo y a registrar los resultados, absteniéndome de juzgarlos. Al cabo de... no sé realmente cuánto tiempo y de muchos clics, muchos miles de clics, mi tabla de porcentajes presentaba este anárquico aspecto:

No la he puesto entera porque es demasiado ancha y no se vería nada, pero llegué hasta el último hospital, el de 300 nacimientos diarios. Y al menos los cien primeros datos persistían en la insumisa e inexplicable manía de subir y bajar, en vez de acatar como debían la inequívoca ley estadística según la cual debían limitarse a bajar.

(Que a partir de 100 nacimientos diarios hubieran dejado de dar saltos no me consolaba nada: ese era el punto en que yo había empezado a aumentar los nacimientos de cinco en cinco, y no de uno en uno –el dedo, y el brazo entero, comenzaban a resentirse un poco–, así que con toda probabilidad solo sucedía que los saltos quedaban ocultos por esta omisión de cuatro de cada cinco hospitales, no que no siguieran produciéndose).

Porque, –y este era el único vislumbre lejano de que pudiera haber alguna explicación para el perturbador fenómeno– con todo y oscilar arriba y abajo de manera incomprensible, las frecuencias halladas parecían hacerlo con arreglo a alguna clase de patrón. Subían y bajaban contra todo pronóstico, sí, pero los picos parecía ser progresivamente menos altos, y los valles cada vez más bajos, y unos y otros daban la impresión de agruparse en ciclos de cierta regularidad.

Comprendí que, si algo de eso pasaba, se apreciaría más claramente en un dibujo, e hice que Excel trazara la correspondiente gráfica. Los gráficos siempre me han parecido una horterada para ejecutivos romos y exhibicionistas, y procuro no emplearlos salvo cuando son estrictamente necesarios, pero esta era claramente una de las ocasiones en que lo son:

Bien, así dibujada la cosa resultaba un poco menos caótica. Podía apreciarse un cierto método en aquella locura. A su manera, sí, a regañadientes, pero no había duda de que las frecuencias bajaban, aún haciéndolo con dos pasos hacia arriba y otros dos hacia abajo. En conjunto sí que se sometían, a fin de cuentas, a la ley que les ordenaba ser cada vez más pequeñas, aunque se reservaran el imprevisible derecho de hacerlo pegando unos tumbos que ninguna regla por mí conocida les autorizaba a pegar.

De momento era incapaz de encontrar ninguna razón que explicara su conducta, pero puesto que daba la impresión de atenerse a un cierto sistema, parecía posible que hubiera alguna. Solo era cuestión de dar con ella.

Con la trastienda del cráneo ocupada incesantemente en buscar esa explicación, me entretuve entretanto en localizar los máximos y mínimos locales del claudicante quebrado de líneas arriba, y en reflejarlos en el correspondiente dibujito. Más que otra cosa por explorar un poco las utilidades gráficas de Excel, que siempre he tenido muy abandonadas.

Y en hacer otro con las frecuencias con que algunos, (no todos, decididamente el brazo derecho empezaba a molestarme) de mis hospitales alcanzaban otros umbrales, concretamente el 55% y el 70% de varones . Para algo tenía que servir la brillante versatilidad de mi hoja de cálculo...

(Entre nosotros, no es que ninguno de estos dos gráficos me sirviera para gran cosa, pero tampoco se puede negar que tienen toda la pinta  de reflejar algo importante, y que prestan a este post un aspecto sumamente científico. Empiezo a comprender cómo funciona la cabeza de los ejecutivos romos y exhibicionistas...)

Por detrás de mis cavilaciones matemáticas y de mis divagaciones ilustratorias, empero, todo el rato runruneaba en mi cabeza una ocurrencia que me había asaltado al poco de empezar a registrar porcentajes, y de comprobar así lo errático de su comportamiento. Una ocurrencia tan subversiva e inquietante como innegable, una vez la hube comprobado en mi tabla de resultados. Era esta:

Si en vez de con dos hospitales de 45 y 15 nacimientos diarios, el problema se hubiera planteado con otros dos, por ejemplo, de 10 y 4 nacimientos diarios, la respuesta correcta ya no habría sido la canónica b), sino la a): sería el hospital grande el que registrara más días anuales con más del 60 % de varones.

Contravinendo todas las leyes estadísticas conocidas, pero con el irrefutable testimonio a favor de los porcentajes obtenidos con mi hoja de cálculo.

Y ello perturbaba gravemente mi conciencia matemática.

NOTAS

⁽¹⁾ Este 50'4% resultó ser un error de aproximación. Como veremos a su debido tiempo, la frecuencia con la que 5 nacimientos diarios alcanzan o superan el 60% de niños es exactamente del 50'0%. Las cuatro décimas de más se debieron sin duda a que, por una vez, no dí el suficiente número de clics y creí estabilizado el porcentaje antes de tiempo.

POST SCRIPTUM

Las reflexiones que este post ha inspirado a Miroslav, uno de mis cinco lectores, eran demasiado largas para un comentario, de lo que me siento satisfechísimo. De modo que ha decidido publicar su propio post sobre el asunto, o sobre algunos otros muy conectados con él. Ese post suyo, que Miroslav ha tenido la amabilidad de dedicarme, ha provocado a su vez algunas consideraciones mías que he publicado en forma de comentarios allí, pero que tienen mucho que ver con la cuestión que aquí se trata. 

La jornada de un obseso mental. Parte 1ª

Pormenorizado estudio de un lamentable cuadro clínico.

(Este post, para celebrar el renacimiento del blog tras más de un año de eclipse, no es apto para lectores no adictos a las matemáticas de andar por casa o, en su defecto, no interesados en problemas mentales de obsesión compulsiva).

Hace cosa de dos semanas me llegó una especie de adivinanza, acertijo, problema o como quieran ustedes llamarlo. Decía así: 

Una población tiene dos hospitales. En el hospital más grande nacen unos 45 bebés cada día, y en el más pequeño unos 15 bebés cada día. Como se sabe, alrededor del 50 por ciento de los bebés son niños. Pero el porcentaje exacto varía de un día a otro. Unas veces puede ser superior al 50 por ciento y otras, inferior. 

Durante un período de 1 año cada hospital registra los días en los que más del 60 por ciento de los bebés son niños. ¿Qué hospital crees que registró más días como estos? 

a) El hospital grande. 

 b) El hospital pequeño. 

c) Los dos más o menos lo mismo (es decir, con una diferencia del 5 por ciento entre uno y otro). 

Me pilló con la cabeza en otras cosas y estuve un par de días sin hacerle ni caso. Cuando decidí hacérselo contesté al remitente, tras pensar dos minutos, algo así como: "No veo ningún motivo para que ninguno de los dos tenga más días con un 60 % de varones que el otro, así que imagino que la respuesta correcta es la c). Lo que me desconcierta es que se plantee como problema, a mí me parece obvio. Pero puesto que me lo preguntas, debe de ser que no lo es tanto. Se me debe de estar escapando algo, pero no sé qué."

Me desasosiega mucho la sensación de que algo se me está escapando, así que el problema siguió dándome vueltas dentro de la cabeza. Hasta que para acabar con mi desazón decidí llevarlo a los extremos, que suele ser una excelente manera de razonar (tiene el inconveniente de que nunca falta quien te llame exagerado, o asegure que eso que tú dices no tiene nada que ver con lo que ha dicho él, o te acabe acusando, con virtuosa indignación, de hacer comparaciones escandalosas y ofensivas entre, qué sé yo, la tauromaquia y la ablación del clítoris, por ejemplo. Pero no hay que hacer caso, yo ya estoy acostumbrado y persevero en practicar la reductio ad extremum, que me resulta siempre muy esclarecedora).

Imaginemos otros dos hospitales, más diferentes aún que los del problema, me dije a mí mismo. Uno tan pequeño que solo nazca en él un niño al día y otro tan grande que nazcan cinco mil. ¿Superarán los dos con la misma frecuencia el 60% de nacimientos de un sexo determinado?

Y una vez más, en los extremos se me hizo la luz: el pequeño alcanzará un 60% de varones –lo superará, de hecho, con el 100%–  todos los días en los que su único alumbramiento diario sea niño, es decir, más o menos la mitad de los días. En cambio el enorme es seguro que no lo alcanzará nunca. Es estadísticamente imposible que de cinco mil bebés, tres mil sean varones. Lo previsible es que se repartan por mitades, 2.500 machos y 2.500 hembras. En la práctica, claro, el reparto nunca será tan exacto, puede suceder que un día haya 2.550 niños y 2.450 niñas, o viceversa. Puedo llegar, en un día loco, –con luna llena, o nueva, o como tenga que estar para estas cosas–, a 2.600 de un sexo contra 2.400 del otro, y ya me parece mucho conceder. Pero por muy imprevistamente que la realidad quiera sacudirse las tutelas estadísticas que la apacientan, lo que evidentemente no sucederá nunca en este hospital enorme es que nazcan 3.000 de un sexo y solo 2.000 del otro; y eso es lo que tendría que pasar para que se alcanzara el 60 % de nuestro problema.⁽¹⁾

O sea, que en el de 1 nacimiento diario se alcanzará el 60% de varones ciento ochenta y tantos días al año. Y en el de 5.000, ni un solo día. La cosa parece clara.

Cuanto más grande sea el hospital y más nacimientos se produzcan en él, más se ceñirán estos nacimientos al reparto esperable entre varones y hembras, que es del 50 % para cada uno, y menos probabilidad habrá de que las desviaciones diarias de esa media sean significativas. Por lo que el hospital grande, de cuarenta y cinco nacimientos diarios, registrará un 60 % o más de varones menos días que el hospital pequeño, de solo quince. La respuesta correcta, comprendí, es la b): el hospital pequeño.

(Es el mismo principio, evidente una vez caes en él, por el que las encuestas son más fiables cuantas más encuestados haya. Si tú le preguntas a diez o doce vecinos lo que piensan votar, el resultado de tu consulta no se parecerá ni de lejos al de las elecciones. Si se lo pudieras preguntar a la mitad del censo, lo clavarías.)

Pero a pesar de mi natural satisfacción por haberme demostrado a mí mismo una vez más lo listo que soy –aunque, eso sí, un poco lento– quedaba un detalle que seguía rondándome por la cabeza. El enunciado del problema hablaba de que hubiera entre los dos hospitales una diferencia de menos del 5 %. Y yo no sabía si ese requisito se cumplía. El hospital de quince nacimientos diarios tendrá más días fastos –o nefastos, según se mire– que el de cuarenta y cinco, de acuerdo, pero ¿cuántos más? Porque si en uno es esperable que se registren... por ejemplo... treinta y cinco días al año con más del 60 % de varones, y en el otro solo treinta y cuatro días al año, esta diferencia cumplirá la regla general de que el pequeño sea estadísticamente más díscolo, pero la respuesta al problema ya no será la b), sino la c), porque la diferencia entre ambos no llegará al 5 %.

Me volví loco buscando por Internet alguna regla estadística que relacionara el tamaño de una muestra (el número diario de nacimientos) con las varianzas, desviaciones típicas o cualquier otra magnitud que mida las diferencias esperables entre los datos reales y la media a la que deberían aproximarse. No creo que exista –lo ignoro todo de la Estadística y casi todo del Cálculo de Probabilidades– pero, en cualquier caso, no la encontré, como era de esperar.

Puesto que la predicción teórica me falla, me dije muy científicamente, recurramos a la comprobación empírica. No puede ser muy difícil hacer con Excel un simulador de nacimientos, niño o niña, y comprobar cuántos días de cada trescientos sesenta y cinco uno de estos dos sexos alcanza o supera el 60% si los hacemos nacer de quince en quince, y cuántos si los hacemos nacer de cuarenta y cinco en cuarenta y cinco.

Soy un poco raro, y pocas cosas (algunas, sí, tranquilos: pero pocas) me entretienen y absorben más que inventarme hojas de Excel para propósitos recónditos y tirando a abstrusos Las hojas de cálculo me parecen la herramienta más asombrosamente útil que nos ha dado la informática a los ciudadanos de a pie –con la posible excepción del FinaleNotepad–. No soy un experto en su uso, manejo con cierta soltura las funciones más básicas, pero precisamente por eso me fascina explorar el enorme campo de sus posibilidades que aún desconozco, y haciéndolo a mi aire es, en realidad, como he llegado a la modesta destreza con que las empleo. Puedo estarme horas trasteando con ellas hasta conseguir que hagan lo que pretendo. Nunca he entendido, por eso, que nadie se gaste un duro de su dinero ni dos minutos de su tiempo en juegos ni en videoconsolas, teniendo un Excel diez veces más apasionante que el mejor de ellos.

Así que al cabo de media horita, o quizás menos, de pensar intensamente y de investigar funciones de Excel ya tenía a punto mi simulador. La función "=aleatorio()" te da, en cada casilla en que la metas, un número decimal entre 0 y 1, uno cualquiera al azar entre los mil billones⁽²⁾ posibles, todos de la forma "0,453625885714902". Si la metes en quince casillas, y a cada una de ellas le das el valor "1" cuando el numerito en cuestión sea mayor o igual que 0'5, y el valor "0" cuando sea menor, tienes quince fenómenos aleatorios, cada uno de ellos con dos opciones, "0" o "1", de igual probabilidad. Es decir, quince lanzamientos de moneda a cara o cruz. O quince nacimientos a niño o niña: una exacta reproducción de un día de la clínica pequeña.

Si en una decimosexta casilla sumas el contenido de las quince anteriores, sabes cuántos niños ("1") han nacido ese día (o cuántas niñas, si hubieras decidido que el "1" son niñas; no quiero herir suceptibilidades feministas). Si en otra decimoséptima casilla divides ese número de niños por quince, sabes qué porcentaje de niños ("1") ha habido ese día sobre el total de nacimientos. Y si en otra decimoctava casilla haces aparecer un "1" si ese porcentaje es igual o mayor que 0'6, y un "0" si es menor, ya tienes cuantificado uno de tus días, como fasto ("1") o como nefasto ("0").

Basta repetir, copiando y pegando, este mismo esquema en otras trescientas sesenta y cuatro filas para tener un año de la clínica pequeña. En la fila tricentésimo sexagésimo sexta (la número 366, vaya, o la número 367 si se emplea una primera fila en encabezamientos aclaratorios, como yo hice) sumas los días (filas) fastos, y ya sabes cuántos días de ese año el sexo elegido ha alcanzado o superado el 60% de los nacimientos. Cada vez que actualices la hoja con F9, tienes un nuevo año, con su numerito de días "especiales". Y si lo haces una cantidad razonable de veces, apuntas los resultados, los sumas y divides el total por esa cantidad, tienes la media de todos los años así simulados: una aproximación más o menos fiable de lo que cabe esperar que produzca anualmente la clínica pequeña en cuestión de días con más del sesenta por ciento de niños de un sexo determinado.

Veinticinco años nada más simulé yo, porque apuntar el resultado cada vez que "actualizaba" a un nuevo año era una pesadez, y sumar luego los resultados, otra peor. Veinticinco años me parecieron suficiente muestra –y suficiente trabajo–, y me salieron 110 días al año de media, en ese primer y trabajoso recuento. Más o menos, el 30 % de los días.⁽³⁾

Y haciendo lo mismo en otra hoja para el hospital grande (la cosa se hace exactamente igual, cambiando quince por cuarenta y cinco: metes la fórmula en cuarenta y cinco casillas, divides por cuarenta y cinco la suma de "unos"... y el resto, igual que en la otra) resultó que en ella la cosa andará, más o menos, en torno a los 43 días al año con más del sesenta por ciento de nacimientos de un sexo determinado: entre el 11 y el 12 % de los días.

Asunto resuelto.

Cabría esperar que con todo esto el obseso mental que hay en mí se quedara tranquilo: la diferencia prevista por la teoría se cumplía muy satisfactoriamente en la práctica, y muy holgadamente, además. Había mucho más de un 5% de distancia entre las frecuencias con las que una y otra clínica superaban el umbral del 60% de varones. Ya podía responder con seguridad que la respuesta correcta era la b) y olvidarme del asunto. 

Pero, amigos míos, la dolencia era más grave de lo que parecía a primera vista, y el adicto no había hecho más que empezar a adentrarse en los infiernos de su vicio.

Lo que quiere decir, tiemblen, que nos espera al menos una segunda parte...

⁽¹⁾ Una simulación con Excel de un hospital de 5.000 nacimientos diarios durante 2.500 días no arrojó ni un solo día con más de 2.680 niños de uno de los dos sexos. La máxima desviación producida sobre el 50% esperable fue el 53'5% (2.673 niños del mismo sexo). A mi ordenador, eso sí, le llevó un ratito el averiguarlo.

⁽²⁾ Mil billones, claro, si solo consideramos los quince primeros decimales, como hace Excel. En realidad son infinitos. Qué fatiga...

⁽³⁾ No olvidemos que, presumible y simétricamente, habrá otro treinta por ciento de días en que los varones nacidos no alcancen el 40%, es decir, en que lo que alcance o supere el 60% sea el nacimiento de niñas. O sea, que el porcentaje de días en que alguno de los dos sexos alcance o supere el 60%  será el doble del hallado para un sexo determinado. En este caso, del sesenta por ciento, y en el de la clínica grande, del veintitantos por ciento. Podría hacer una hoja que calculara también esta frecuencia...
 

El extraño caso del primer dígito. Parte III



El gráfico está tomado de un artículo  sobre el fenómeno del primer dígito publicado en 2007 por cuatro físicos de la Universidad de Córdoba⁽¹⁾ en el European Journal of Physics. Las cinco barras representan las frecuencias de cada dígito en el primer puesto de las cifras de datos de las siguientes cinco magnitudes; Variaciones anuales del IPC español, Poblaciones de los 8.107 municipios españoles en el último censo, Aves existentes en las distintas regiones españolas entre 1975 y 2002, Áreas en km2 de los países del mundo y Datos contables anuales de una empresa. Los rombitos blancos son las frecuencias de cada dígito en el primer puesto de los números premiados por la lotería española desde 1995. (Todos los datos están tomados del INE). Los puntos negros unidos por una curva, por último, son las frecuencias predichas por la Ley de Benford.

Recapitulemos:

Acababa mi anterior post sobre este asunto tan interesante como popular resumiendo mis perplejidades en tres preguntas fundamentales que, en mi opinión, se plantean ineludiblemente a cualquiera que se interese por el Extraño Caso del Primer Dígito:

1º ¿En qué se diferencian los fenómenos cuyos datos numéricos se ajustan a la Ley de Benford de aquellos otros que producen también cifras, pero ateniéndose a la ley de probabilidades monda y lironda, es decir, sin esa sorprendente distribución de frecuencias de su primer dígito que caracteriza a los primeros?

2º ¿Qué tienen en común entre sí los variadísimos fenómenos que sí se atienen, todos ellos, a la distribución logarítmica del primer dígito de sus datos numéricos? Y

3º ¿Por qué son más frecuentes los datos numéricos con primeros dígitos bajos que los que los tienen altos, y por qué en esa proporción?

Mi propósito es dedicar este tercer y último post de la serie a comentar lo más brevemente que pueda cada una de estas preguntas y las reflexiones a que me han dado ocasión, a las que sería más bien iluso llamar respuestas.


Unos sí y otros no. Qué cosas.

Estos días que llevo dándole vueltas al asunto y leyendo sobre él todo lo que cae en mis manos, me he encontrado hasta la saciedad la expresión "fenómenos que se presentan en el mundo real". Todo el que trata de la Ley de Benford recurre a esta expresión como si se tratara de una condición fundamental para que se cumpla la bendita ley, pero lo cierto es que yo no sé de ningún fenómeno que no se produzca en el mundo real, por lo que en principio no me parece que la expresión en cuestión sea de mucha utilidad. Los sorteos, los catálogos, los fraudes contables y los experimentos amañados son todos ellos fenómenos que también tienen lugar en el mundo real y, sin embargo, parece ser que las cifras que resultan de ellos no se atienen a la ley de Benford.

Como para casi todo en este asunto, yo he encontrado lo que me parece la clave en las dos paginitas publicadas por el pobre Newcomb en 1881, de las que nadie hizo ni caso en su momento.

"Tal como los números naturales se presentan en la naturaleza, escribe Newcomb, deben ser considerados como proporciones entre cantidades" . (Las negritas, como siempre, son mías. Les tengo afición).

Ese es el asunto, a mi entender. Las cifras distribuyen de un modo inesperado sus primeros dígitos solamente cuando expresan cantidades. Un número premiado en la lotería, un código numérico asignado a un elemento en un catálogo (números de teléfonos, Clasificación Decimal Universal de documentos, ISBN, números de identidad o de Seguridad Social...) o unos datos inventados para engañar a Hacienda son, todos, cifras que no se refieren a ninguna cantidad de ninguna magnitud medible de ninguna cosa existente. No son el resultado de una medición, y por eso Benford no tiene nada que ver con ellas. Solo las cifras que se han obtenido midiendo magnitudes cuantificables de cosas existentes son las que presentan primeros dígitos con una frecuencia logarítmica, y no equitativamente repartida entre las nueve posibilidades. Da lo mismo que se trate de áreas, de precios, de poblaciones, de alturas o de distancias. Da igual que lo medido sea obra de la naturaleza o del hombre. Lo que hace que una serie de cifras presente una distribución de primeros dígitos con arreglo a la Ley de Benford es, en mi opinión, el hecho de que esas cifras sean el resultado de medir cualquier magnitud cuantificable de cualquier cosa realmente existente, desde el número de camellos en los desiertos asiáticos hasta el de partículas nucleares en los compuestos químicos, pasando por el de ladrillos en los edificios construídos en la Expo lisboeta y por el de licencias de taxi concedidas en las ciudades centroeuropeas. Da igual qué se mida, lo importante es que algo se mide y que el resultado de la medición se expresa en números.

Y hay que hacer notar a este respecto la estupenda precisión de Newcomb, que no habla solo de cantidades, sino de proporciones (ratios) entre al menos dos cantidades; y que, a partir de ahí, desarrolla en cinco o seis párrafos largos y abstrusos toda su explicación matemática del asunto: "Por eso, sigue diciendo tras la frase citada arriba, en vez de tomar un numero al azar, debemos tomar dos y preguntarnos cuál es la probabilidad de que el primer dígito significativo de su cociente (ratio) sea n". Sea uno o no capaz de comprender el razonamiento matemático que sigue a este planteamiento, lo que sí es fácilmente comprensible es que cualquier medición, efectivamente, es siempre una proporción entre dos cantidades, la cantidad que se mide y la que se emplea como unidad de medición. La altura de una montaña es la que es, pero no tenemos ninguna cifra para expresarla hasta que, además de esa altura, tomamos otra para usarla como unidad, y establecemos la proporción entre ambas, que es la que nos da la cifra con que expresamos esa altura. Lo que hace Newcomb al hablar de proporciones entre dos cantidades es hablar de mediciones y situar la cuestión, desde el principio, en el terreno en el que yo creo que debe ser planteada.


Si cada uno es de su padre y de su madre...

... ¿qué pueden entonces tener en común fenómenos tan absolutamente distintos entre sí como, por ejemplo, los del gráfico que encabeza el post, y otros muchísimos que cada día se comprueba que producen series de datos con los primeros dígitos distribuidos según la Ley de Benford?

También sobre esta cuestión he leído las respuestas más sorprendentes –y las afirmaciones más obvias y anodinas, que sorprendentemente, se presentaban a sí mismas como respuestas–. Desde el matemático francés que, tras analizar sesudamente los aspectos más técnicos de la distribución de Benford, la justifica despreocupadamente con la hipótesis de que nuestra tendencia a pensar que todos los dígitos se han de repartir por igual el primer puesto es simplemente un condicionamiento psicológico sin ninguna otra base que la intuición –¡ahí queda eso!–, hasta los físicos chinos que están convencidos de que la Ley de Benford es algo parecido a una nueva ley de la gravitación universal, y obedece a la existencia de una constante universal, subyacente bajo la esencia misma de todo lo existente que, cuando sea descubierta y estudiada, nos ayudará a encontrar las explicaciones que aún no tenemos sobre la estructura subatómica de la materia. Lamento decir que ninguna me ha convencido, ni me ha parecido siquiera nada remotamente similar a una explicación sensata y aceptable del asunto.

Mi opinión personal es que los fenómenos que producen datos numéricos con la frecuencia de sus primeros dígitos distribuída según la Ley de Benford no tienen absolutamente nada en común, ni falta que les hace.

Nada, salvo el hecho de que los medimos, el resultado de lo cual expresamos en cifras.

Dicho de otro modo: en mi opinión, la de producir series de datos numéricos que empiezan más frecuentemente por números bajos que por números altos, todas ellas más o menos aproximadas a las frecuencias que para el primer dígito nos da la Ley de Benford, no es una propiedad de los fenómenos medidos, sino del sistema numérico con el que expresamos los resultados de nuestras mediciones. Ni en los ríos, ni en las aves, ni en el IPC, ni en los camellos asiáticos, ni en los compuestos químicos ni en los taxis rumanos hay nada que les lleve a distribuir sus cantidades de determinada manera. De hecho ninguna de estas cosas distribuye sus cantidades de ninguna manera. Somos nosotros los que, para referirnos a esas cantidades, a todas las cantidades, les asignamos cifras con arreglo a un sistema numérico que es el único lugar en el que se produce el fenómeno del primer dígito.

En la naturaleza no hay números. Los números son una convención artificial y arbitraria que solo existe en nuestras cabezas. Un lenguaje. Atribuir a las cosas concretas una cualidad que solo aparece en los números con que las cuantificamos tiene exactamente el mismo fundamento que atribuir a las vacas las particularidades de la palabra "vaca". Ni las vacas se escriben con V, ni los ríos tienen longitudes con los primeros dígitos distribuídos según la Ley de Benford. Tanto la de comenzar por una u otra letra como la de distribuir los primeros dígitos de uno u otro modo son propiedades de las palabras y de las cifras, no de las cosas a las que se refieren. De los lenguajes con que nos referimos al universo, no del universo mismo.

¿Por qué precisamente el 30'1 %, vamos a ver? ¿Por qué estos valores, y no otros?

Ya situados estrictamente en el terreno al que creo que debe ceñirse la cuestión: el de nuestro sistema numérico, y no el de las cantidades para expresar las cuales lo usamos, y mucho menos el de los fenómenos a que se refieren esas cantidades, sigue siendo intrigante una cuestión: ¿por qué nuestro sistema numérico, cuando lo usamos para expresar cantidades de magnitudes de cosas existentes, tiende a producir números comenzados por 1 y por 2 con más abundancia que números comenzados por 8 y por 9? Y ¿por qué en esas proporciones precisas, y no en otras?

Porque una cosa seguimos teniendo clara, y es que, en el conjunto de TODOS nuestros números, todos los dígitos significativos (es decir, despreciando los ceros iniciales de los decimales) aparecen como primero con la misma frecuencia. Hay tantos números empezados por 1 como por 2, por 3... y por 9. Y lo mismo sucede cuando consideramos tramos redondos de este conjunto: los cien primeros, los mil primeros, los mil millones primeros... los 10⁸⁰ primeros. Por eso funcionan las loterías, decíamos hace un par de posts.

Pero la cosa deja de suceder si los tramos considerados no son "redondos", esto es, si no terminan en potencias exactas de 10. Si consideramos los quince mil millones primeros de números, por ejemplo, en los diez mil primeros millones los nueve dígitos se reparten el primer puesto equitativamente, pero en los cinco mil millones siguientes todos los números empiezan por 1, lo que altera considerablemente la frecuencia con la que el 1 aparece como primer dígito en ese tramo concreto y, por tanto, la probabilidad de que una cifra cualquiera de ese tramo empiece por 1.

Sucede lo mismo, o más aún, en los quince primeros números, en los ciento setenta primeros números, en los mil novecientos primeros números, en los un millón novecientos mil primeros números... En todos estos tramos la frecuencia con la que el 1 es el primero de una cifra cualquiera es muy superior a 1/9.

En nuestra cabeza y en nuestros bombos de lotería⁽²⁾–valga decir, en cualquier proceso de obtención de cifras que no sea resultado de la medición de algo existente– consideramos tramos redondos de números, tramos terminados en potencias de 10, los únicos en que los nueve dígitos tienen la misma probabilidad de comenzar una cifra cualquiera. Pero las magnitudes de los fenómenos que suceden en el mundo real no toman esa precaución. Ni cuentan con TODOS los números, porque el universo y todo lo que hay en él es finito, ni ajustan sus dimensiones a tramos "redondos" de números, que acaben en potencias de 10. Entre otras cosas porque, como ya hemos dicho, en el mundo de fuera de nuestras cabezas no hay números, solo cantidades, a las que nuestro sistema numérico y nuestra base 10 les importan un pito. Las cantidades son las que son, cómo las expresemos es asunto exclusivamente nuestro, del que el Universo pasa olímpicamente.

Y en un tramo cualquiera de números, un tramo que no acabe en una potencia de 10, la frecuencia con que cada dígito ocupa el primer puesto de las cifras ya no es igual para todos, como hemos visto.

Parece, por eso, que investigar cómo varía la frecuencia, en distintos tramos de números, de cada dígito como ocupante del primer puesto, puede ser una vía prometedora de investigación. 

Veamos, pues, dónde nos lleva con el 1, por ejemplo:

Si consideramos, de todos los números, solo el primero (que como es notorio es nuestro querido 1), la frecuencia con la que el 1 es el primer dígito de ese número es, evidentemente, del 100 %. Solo está él...

Si vamos ampliando el tramo de números considerados, va disminuyendo la frecuencia con la que el 1 es el primer dígito. Para el tramo de los dos primeros números, [1, 2], la frecuencia del 1 como primer dígito es del 50% (1/2). Para el tramo de los tres primeros, [1, 3], del 33'33 %, (1/3). Para el tramo de los cuatro primeros, [1, 4], del 25 %(1/4)...y así la frecuencia del 1 como primer dígito sigue bajando hasta que consideramos el tramo de los nueve primeros números, [1, 9], en el que la frecuencia del 1 como primer dígito es del 11'11 % (1/9).

Al ampliar el tramo en uno más y considerar los diez primeros números, [1, 10], la frecuencia del 1 como primer dígito vuelve a subir. Aquí ya hay dos números, el 1 y el 10, que tienen al 1 como primer dígito, luego la frecuencia es de 2/10, el 20 %. Conforme vamos ampliando el tramo considerado con los sucesivos números, va aumentando la frecuencia de números empezados por 1. Es del 27'27 % (3/11) en el tramo [1, 11], del 33'33 % (4/12 = 1/3) en el tramo [1, 12], del 38'46 % (5/13) en el tramo [1,13]... hasta llegar al tramo [1, 19], en el cual hay 11 números que empiezan por 1, es decir que su frecuencia alcanza el 57'89 % (11/19). Pero en el tramo [1, 20] baja al 55 % (11/20), en el tramo [1, 21] es del 52'38 % (11/21)... y sigue bajando al ampliarse los tramos: 36'66 %(11/30) en el [1,30], 27'5 % (11/40) en el [1, 40]... hasta que en el [1, 99] es de nuevo del 11'11 % (11/99).

Para empezar de nuevo a subir en el [1, 100] (12/100 = 12 %) y seguir subiendo hasta la del tramo [1,199] (111/199 = 55'77 %), desde el que vuelve a bajar incesantemente hasta volver a ser del 11'11 % = 111/999 en el tramo [1, 999]. Y así todo el rato. 

Por resumir, la gráfica que dibuja la frecuencia del 1 como primer dígito en los sucesivos tramos, –cada uno con diez veces más números que el anterior aunque yo los haya dibujado en una escala en la que aparecen todos iguales porque, si no, no me cabe y el principio es el mismo–,  viene a ser algo así:

Sobre el eje vertical se representan las frecuencias en % con las que el 1 es el primer dígito de una cifra en los tramos de cifras [1, n] representados sobre el tramo horizontal. Este último está dibujado a escala logarítmica, en la que se representa con la misma longitud el tramo [1.000, 10.000] que el [100, 1.000 y que el [10, 100]... Es decir, todos los tramos aparecen con la misma longitud,, a pesar de que cada uno es, en realidad, de una longitud igual a diez veces la del anterior.

La serie se prolonga indefinidamente hacia la derecha, con la frecuencia con la que aparece el1 como primer dígito oscilando en cada nuevo tramo entre dos límites, inferior y superior que, aunque en el gráfico no se advierta, no son siquiera constantes. El límite inferior va decreciendo hacia el valor 1/9 = 0'1111 (11/99,  111/999,  1.111/9.999...) y el superior también decrece hacia 5/9 =0'5555 (11/19,  111/199,  1.111/1.999...). A efectos prácticos podemos considerar que oscila periódicamente entre el 11'11 % y el 55'55 % (las variaciones entre los límites de un tramo y los del siguiente empiezan a la altura del tercer decimal, y de ahí en adelante son cada vez más pequeñas).

Y también a efectos prácticos parece que sería útilpoder establecer un valor promedio de esta sucesión de frecuencias, el valor hacia el que tiende –o en torno al cual oscila, en este caso– la frecuencia con la que el 1 es el primer dígito, a medida que el extremo derecho de los sucesivos tramos avanza interminablemente hacia el infinito. Lo que matemáticamente se llama el límite de la sucesión.

Mis habilidades matemáticas, que no son ya lo que alguna vez fueron y nunca fueron gran cosa, no se acercan siquiera a poder calcular el límite de una sucesión así. Me consuela que A. Jamain⁽³⁾, que parece saber de lo que habla y pertenece al Imperial College of London, donde nunca dicen nada solo por decir, tras asegurar que tal límite no existe, suaviza la negativa (¡cómo disfrutan los matemáticos dándonos estos sustos!) diciendo que hay diversos métodos para definirlo, y que varios de ellos llevan al deseadologaritmo de 2, que vale, precisamente, 0'3010 (o 30'1 %), el valor de la probabilidad del 1 como primer dígito según la Fórmula de Newcomb (log (1+1/1), si recuerdan ustedes), fórmula que es, a su vez, la expresión matemática de la Ley de Benford. ¡Menos mal!

Con tal autorización me siento más libre de aventurar mi propia cuenta de la vieja explicativa, que a mí al menos me sirve para entender mejor la cuestión. Si coloreamos el espacio bajo la curva del anterior gráfico, tal que así:

el área coloreada parece bastante razonablemente asimilable –los picos que entran por los que salen, ya me entienden ustedes– a la del rectángulo así mismo coloreado en este otro gráfico; rectángulo cuya base es la misma y cuya altura he situado, así, por ver qué pasa, a la altura de... pongamos por caso... el 30'1 %:

Lo que a mi ojo de buen cubero geómetra le viene a decir que la oscilación de la frecuencia del primer dígito 1entre sus dos límites viene a ser como si se mantuviera todo el rato en ese valor de 30'1 %  (o 0'3010), que es, no hace falta decirlo, la deseada probabilidad del 1 como primer dígito que nos daba la fórmula de Newcomb, o sea, quod erat demostrandum. ¿Me he explicao?

(Supongo que la cosa se podría comprobar con un poco más de rigor haciendo la integral de la curva entre dos puntos suficientemente alejados, lo que nos daría el área picuda, y dividiéndola luego por la distancia entre esos dos puntos para que nos saliera la altura del rectángulo equivalente, que es el valor buscado y al que más le vale seguir entonces siendo lo más parecido que pueda a 0'3010. Pero para eso tendría que conocer la ecuación de la curva y recordar cómo se resolvían integrales. Dios lo haga mejor. Se lo dejo a Jamain, que sabe mucho. Yo me conformo con mi heurística doméstica).


Naturalmente, el razonamiento es generalizable a todos los demás dígitos: de los nueve mil primeros números, solo el 1'25 % empieza por 9. Y lo mismo sucede en los nueve primeros millones, en los novecientos mil primeros millones...

Si trazamos para el 2 y el 9, por ejemplo, gráficas similares a las que hemos trazado para el 1, nos quedará algo parecido a esto (las del 2 en azul y las del 9 en verde):

Como se ve, las dos frecuencias, la del 2 como primer dígito y la del 9 en ese mismo puesto, oscilan, igual que lo hacía la del 1, en torno a sendos valores promedios –los límites respectivos de ambas series–, que, tanto de acuerdo con mi ojímetro geométrico como –o al menos eso espero– con los sabios métodos de integración de A. Jamain, pueden situarse, respectivamente, en las alturas del 17'6 %  la del 2 (la frecuencia que la fórmula de Newcomb nos daba para el 2 como primer dígito) y del 4'58 %  la del 9 (la frecuencia que la fórmula de Newcomb nos daba para el 9 como primer dígito).

Resulta muy interesante, para terminar, superponer las tres curvas en un solo gráfico, en el que es fácil comprobar que las frecuencias con que cada uno de estos tres dígitos son el primero de una cifra solo coinciden para valores de n iguales a potencias exactas de 10 (10, 100, 1.000, 10.000..), en los que las tres frecuencias se encuentran a la altura del 11'11 % (1/9)

Con lo cual considero dicho todo lo que me apetecía decir sobre el asunto. No creo, naturalmente, haber contestado ninguna de mis tres preguntas, pero sí he conseguido que se me pasen las ganas de seguir planteándomelas, lo que en la práctica es bastante equivalente. Podemos descansar, por tanto, que bien nos lo hemos ganado.


Notas:

(1) How do numbers begin? (The first digit law) J. Torres, S. Fernández, A. Gamero y A. Sola. European Journal of Physics, 24 April 2007.

(2) En realidad en los bombos de lotería no es necesario hacerlo, y de hecho en el de Navidad no se hace, ya que de lo que se trata no es de acertar el dígito inicial, sino el número completo, y los números completos tienen todos la misma probabilidad sea cual sea el tramo elegido.

(3) Benford's Law Adrien Jamain  Imperial College of London, Department of Mathematics. April - September 2001